Condiciones necesarias y suficientes para la suma ponderada

Question

Fijar números positivos $x_1,\dots,x_n$ con $\sum_{i=1}^nx_i=1$ . Para cualquier número positivo $a_1\leq\dots\leq a_n$ definimos $$Y=a_1x_1+\dots+a_nx_n,$$ y $y_i=\frac{a_ix_i}{Y}$ para todos $1\leq i\leq n$ .

¿Cuáles son todas las secuencias posibles $(y_1,\dots,y_n)$ es decir, secuencias que aparecen como $(y_1,\dots,y_n)$ para algunos $a_1\leq\dots\leq a_n$ ? ¿Existen algunas condiciones sucintas suficientes o necesarias?

Por ejemplo, una condición necesaria es $y_1\leq x_1$ . Esto se debe a que $$y_1=\frac{a_1x_1}{a_1x_1+\dots+a_nx_n}\leq\frac{a_1x_1}{a_1x_1+\dots+a_1x_n}=x_1.$$ Del mismo modo, es necesario que $y_n\geq x_n$ . ¿Son suficientes estos dos juntos?

Answer 1

Fijar un vector $(x_1, ..., x_n)$ con entradas positivas. Entonces $(y_1, ..., y_n)$ es un vector que cumple los requisitos con respecto a $(x_1, ..., x_n)$ si y sólo si cumple las tres condiciones siguientes:

1) $y_i>0$ para todos $i \in \{1, ..., n\}$ .

2) $\frac{y_i}{x_i} \leq \frac{y_{i+1}}{x_{i+1}}$ para todos $i \in \{1, ..., n-1\}$ .

3) $\sum_{i=1}^n y_i = 1$ .

La prueba de la necesidad es sencilla. La prueba de la suficiencia requiere un poco más de trabajo, pero no es difícil y es probable que pueda hacerla usted mismo.

Estas tres condiciones son "mínimas" en el sentido de que ninguna de ellas implica la tercera.