Dual de un grupo topológico completo

Question

Sea $(G,+)$ sea un grupo abeliano topológico de Hausdorff. Supongamos que $G$ es completa es decir, toda secuencia de Cauchy en $G$ converge en $G$ .

Sea $\widehat G:=\operatorname{Hom}_{\text{cont}}(G, S^{1})$ sea el grupo dual de $G$ y ponte $\widehat G$ el topología compacto-abierta .

He aquí mi pregunta:

Es también $\widehat{G}$ ¿un grupo completo?

Gracias de antemano

Answer 1

No conozco la respuesta en general, pero sospecho que la siguiente respuesta es suficientemente buena para tus propósitos (ya que la completitud sólo con respecto a secuencias no es muy útil de todas formas en toda su generalidad). A saber, si $G$ es cualquier generado de forma compacta grupo abeliano topológico (no necesariamente completo), entonces $\widehat{G}$ está completo. La mayoría de los espacios con los que se topará están generados de forma compacta a menos que esté intentando encontrar específicamente ejemplos patológicos; en particular, por ejemplo, cualquier espacio metrizable está generado de forma compacta.

Para demostrar $\widehat{G}$ está completo si $G$ está generada de forma compacta, supongamos que $(f_n)$ es una sucesión de Cauchy en $\widehat{G}$ . Entonces, en particular $(f_n(x))$ es Cauchy para cada $x\in G$ por lo que podemos definir una función $f$ como límite puntual de $f_n$ . Vemos entonces que $f$ es un homomorfismo ya que es un límite puntual de homomorfismos. Además, $(f_n)$ es uniformemente Cauchy en cada subconjunto compacto de $G$ Así que $f_n\to f$ uniformemente en conjuntos compactos. Así, $f$ es continua cuando se restringe a cada subconjunto compacto de $G$ . Desde $G$ se genera de forma compacta, lo que significa que $f$ es continua. Por lo tanto $f\in\widehat{G}$ y $f_n\to f$ en $\widehat{G}$ ya que la convergencia es uniforme en conjuntos compactos.