Extraño $\sin/\cos$ integral

Question

Cómo evaluar $$\int \frac{\sin^3 x}{\cos^5x}dx\ ?$$

He probado varias sustituciones con $\sin x = u$ o $\cos x = u$, he intentado utilizar la fórmula de Euler que resultan demasiado pesados cálculos y he intentado usar $\sin^2x + \cos^2x = 1$ en varias formas, sin éxito.

Answer 1

Otro enfoque: $$ \begin{align} \int \frac{\sin^3 x}{\cos^5x}dx&=\int \frac{\sin^3 x}{\cos^3x\cos^2x}dx\\ &=\int\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^3\frac{dx}{\cos^2x}\\ &=\int\tan^3x\ d(\tan x)\\ &=\frac14\tan^4x+C. \end{align} $$

Answer 2

Sugerencia: $$\int \frac{\sin^{3}x}{\cos^{5}x}dx=\int \frac{(1-\cos^{2}x)\sin x}{\cos^{5}x}dx$$ and try substitution $$t=\cos x.$$