¿Conmutan los homomorfismos suryectivos de anillos con la intersección de ideales?

Question

Sea $f:A\longrightarrow B$ sea un homomorfismo suryectivo de anillo. Es cierto que para cualquier intersección de ideales, la imagen de la intersección es igual a la intersección de las imágenes de los ideales?

Una contención es trivial.

Edición: En particular la imagen de la intersección está contenida en cada imagen de los ideales individualmente y por lo tanto en la intersección de las imágenes.

Answer 1

Sea $k$ sea un campo, y $A=k[x,y]$ , dejemos que $B=k[z]$ y que $f:A\to B$ se define por $f(x)=f(y)=z$ .

Considera los ideales $I=(x)$ y $J=(y)$ de $A$ . Entonces $I\cap J=(xy)$ así que $f(I\cap J)=(z\cdot z)=(z^2)$ mientras que $f(I)\cap f(J)=(z)\cap (z)=(z)$ . Así que en este caso tenemos $$f(I\cap J)\subsetneq f(I)\cap f(J)$$