¿Por qué $p$ -¿números arcaicos omnipresentes en la teoría de números moderna?

Question

Actualmente estoy en una etapa en la que creo que me siento bastante cómodo con la aparición de campos locales no arquimedianos en las matemáticas que encuentro, después de haber visto una buena cantidad de tecnología construida sobre su estructura y aplicaciones a áreas conectadas, sin embargo, de alguna manera todavía siento que tengo una comprensión insatisfactoria de por qué su introducción es absolutamente crucial para estudiar la teoría algebraica de números y la geometría aritmética, sobre todo porque todas estas aplicaciones son enormemente avanzadas en comparación con el punto en el que $p$ -suelen introducirse en la carrera de un estudiante, creo. Si quiero motivar su definición, de alguna manera natural paso por las siguientes implicaciones en mi cabeza:

1. para estudiar un problema sobre el anillo de los números enteros $\mathbb{Z}$ (o más generalmente, el anillo de enteros de un campo numérico) la estrategia consiste en localice el problema en un primer $p$ como para centrarse a su alrededor y preocuparse por el problema ' de uno en uno por así decirlo;
2. localizamos (literalmente, ahora) en el primer $p$ como se haría con el anillo de funciones regulares sobre una variedad, y sustituir $\mathbb{Z}$ con el anillo $\mathbb{Z}_{(p)} := \{ \frac{x}{y} \in \mathbb{Q} \mid p\nmid y \}$ ;
3. podemos entonces completar en el ideal máximo $(p) \subseteq \mathbb{Z}_{(p)}$ para obtener el $p$ -enteros radicales $\mathbb{Z}_p$ con la ventaja de que ahora hay acceso a técnicas de aproximación como el lema de Hensel, y el anillo recién obtenido tiene prácticamente todas las mismas propiedades algebraicas que $\mathbb{Z}_{(p)}$ debido a su idéntica teoría de valoración.

Es este último paso el que todavía me confunde... aunque puedo apreciar la utilidad de las técnicas de aproximación, me sigue pareciendo extremadamente arbitrario por qué resulta tan inevitable con toda la teoría que se construye sobre este mísero pasito. De alguna manera, cada vez que he visto el estudio de las vecindades formales en geometría algebraica siempre me ha parecido que es una herramienta para abordar un problema, y no el objeto principal de estudio, mientras que en mi cabeza el $p$ -los números arábigos han resultado ser los protagonistas en muchas áreas de las matemáticas, lo que en cierto modo va en contra de esta intuición mía que encuentro.

Dado que esta intuición no proviene de ninguno de mis profesores y no estoy muy seguro de que tenga mucho sentido, quería preguntar si es una forma adecuada de pensar sobre el uso de los campos no arquimédicos en matemáticas; también estaría muy interesado en aprender sobre su papel en la historia de la teoría algebraica de números, ya que no estoy muy seguro de poder situar adecuadamente su uso e introducción en una línea de tiempo de una manera coherente con toda la teoría que tengo en mente.

Pido disculpas si mi pregunta es muy manoseada, y estaría súper agradecido por cualquier tipo de perspicacia :) ¡Muchas gracias por su tiempo!

Answer 1

Permítanme darles un punto de vista "externo", es decir, un punto de vista desde la teoría geométrica de grupos.

A los teóricos de los grupos geométricos les encantan los grupos discretos. Los teóricos de los números adoran los grupos $\mathbb Z[\sqrt{2}]$ . Los teóricos del grupo deben estar de acuerdo en que el grupo $\mathbb Z[\sqrt{2}]$ es perfectamente agradable desde un punto de vista algebraico - es isomorfo a $\mathbb Z \oplus \mathbb Z$ aunque se quejan de que no es discreto. Pero ahora, como señalan los teóricos de los números, ocurre algo sorprendente: $\mathbb Z[\sqrt{2}]$ es un anillo, después de todo, y hay dos incrustaciones de anillos naturales de $\mathbb Z[\sqrt{2}]$ en $\mathbb R$ a considerar, una es la inclusión y la otra es el mapa $a + b \sqrt{2} \mapsto a - b \sqrt{2}$ . Y cuando juntas esas dos incrustaciones en la llamada "incrustación diagonal" $\mathbb Z[\sqrt{2}] \hookrightarrow \mathbb R \oplus \mathbb R$ definido por $a + b \sqrt{2} \mapsto (a + b \sqrt{2}, a - b \sqrt{2})$ ¡entonces se obtiene un subgrupo discreto! Resulta que esto se generaliza completamente a una incrustación discreta del anillo de enteros algebraicos de cada campo numérico, siendo el codominio de la incrustación, en general, una suma directa de copias de $\mathbb R$ y $\mathbb C$ .

No $p$ -hasta ahora.

He aquí otro grupo interesante muy apreciado por los teóricos de los grupos geométricos: el grupo soluble Baumslag-Solitar $$\text{BS}(1,p) = \langle a,t \mid tat^{-1}=a^p \rangle $$ Muy bonito desde el punto de vista de la teoría de grupos, es decir, un bonito grupo finitamente presentado. Pero algo oscuro, al principio, para un teórico de grupos geométricos.

Los fanáticos de la mentira intervendrán señalando que $\text{BS}(1,p)$ se integra en el grupo $\text{Aff}(\mathbb R)$ de transformaciones afines de la recta real $\mathbb R$ donde $a$ incrusta como la transformación $r \mapsto r+1$ y $t$ incrusta como la transformación $r \mapsto pr$ . Los teóricos de los números prestarán atención al darse cuenta de que esta incrustación cae realmente en el subgrupo $\text{Aff}(\mathbb Q) \subset \text{Aff}(\mathbb R)$ de hecho, existe un isomorfismo $$\text{BS}(1,p) \approx \text{Aff}(\mathbb Z[1/p]) \quad\text{which is contained in $ \text{Aff}(\mathbb Q) $} $$ Pero los teóricos de los grupos geométricos seguirán refunfuñando al señalar que la imagen de la incrustación $\text{BS}(1,p) \hookrightarrow \text{Aff}(\mathbb R)$ no es discreto.

Pero entonces los fanáticos de la mentira y los teóricos de los números jugarán su baza: $\text{BS}(1,p)$ también se integra en el grupo $\text{Aff}(\mathbb Q_p)$ de transformaciones afines del campo de $p$ -números radicales $\mathbb Q_p$ utilizando más o menos las mismas fórmulas que la incrustación en $\text{Aff}(\mathbb R)$ . Y puedes juntar estas dos incrustaciones en una especie de incrustación diagonal $$\text{BS}(1,p) \to \text{Aff}(\mathbb R \oplus \mathbb Q_p) $$ cuya imagen es un subgrupo discreto. Esta es, en realidad, una idea realmente útil desde la perspectiva de la teoría geométrica de grupos, resulta ser la clave para entender el grupo $\text{BS}(1,p)$ desde una perspectiva geométrica (véanse mis dos primeros artículos con Benson Farb).

Bueno, los teóricos de los números deberían hacerse cargo aquí, pero No puedo resistirme a señalar una última cosa. El grupo $\mathbb Q$ es un objeto algo aterrador desde el punto de vista de la teoría geométrica de grupos, ni siquiera está finitamente generado, por el amor de Dios. Pero los teóricos de números responderán

Sabes, realmente deberías prestar más atención a $\mathbb Q$ . Incluso es un grupo discreto, desde el punto de vista correcto. Su imagen es discreta bajo la incrustación diagonal con respecto a las incrustaciones naturales de $\mathbb Q$ en $\mathbb R$ y todos los $p$ -campos ada $\mathbb Q_p$ : $$\mathbb Q \mapsto \mathbb R \oplus \mathbb Q_2 \oplus \mathbb Q_3 \oplus \mathbb Q_5 \oplus \mathbb Q_7 \oplus \mathbb Q_{11} \oplus \mathbb Q_{13} \oplus \mathbb Q_{17} \oplus\cdots $$

Answer 2

El "propósito" de ambas asignaturas en cierto sentido es comprender el grupo de Galois de $\overline{\mathbb{Q}}$ en $\mathbb{Q}$ .

Los grupos de Galois absolutos de las terminaciones $\mathbb{Q}_p$ son subgrupos* que, juntos, generan este misterioso grupo. Los grupos $G_p$ tienen la ventaja de ser mucho más explícitamente descriptibles, sin dejar de ser lo suficientemente grandes como para ser un pelo más interesantes que el grupo de Galois absoluto de $\mathbb{R}$ .

*no realmente subgrupos canónicamente, algo así como subgrupos hasta la conjugación.