Sea $A_m \subseteq \mathbb{R}^n$ , $A_m \ne \emptyset$ y $A_{m+1} \subseteq A_m$ . Supongamos que $\bigcap\limits_{m=1}^{\infty} A_{m}=\emptyset$ y que $x \in \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \overline {A_{m}}$ .
Demostrar que $x$ es un punto límite de $A_1$ .
Mi intento: Estoy tratando de demostrar que $Br^*(x)\cap A_1 \ne \emptyset , \forall r > 0$ ou que $\exists$ { $x_n$ } $\subseteq A_1\setminus$ { $x$ } que $x_n \to x$ .
Sea $x \in \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \overline {A_{m}}$ $\iff$ $x \in \overline {A_{m}}$ , $\forall m \in \mathbb{N}$ $\iff Br(x)\cap A_m \ne \emptyset$ , $\forall m \in \mathbb{N}$ y $\forall r>0$ . Pero como $x \notin$ $\bigcap\limits_{m=1}^{\infty} A_{m}$ de modo que $\exists$ $m \in \mathbb{N}$ que $x \notin A_m$ . Por la hipótesis, tenemos que $x \notin A_{m+1}$ para este $m$ .
A partir de esto, ¿cómo obtengo que $x \in {A_1}'$ ? Cualquier ayuda para terminar esta prueba será apreciada. Gracias.
