Grupo de difeomorfismo vs. $GL(4,\mathbb{R})$ en Relatividad General

Question

Estoy bastante confundido con los grupos Diff $(M)$ y $GL(4,\mathbb{R})$ en el contexto de la relatividad general. Entiendo que las simetrías de la RG son las transformaciones que dejan las ecuaciones invariantes bajo transformaciones de coordenadas suaves continuas. Es decir, los automorfismos $f:M \to M$ forman un grupo Lie de dimensión infinita, el grupo Diff $(M)$ .

Ahora bien, tenía la impresión de que el grupo de isometría de la RG es $GL(4,\mathbb{R})$ y algo así se dice en el Página Wiki de covarianza general. En concreto dice que

Una interpretación más moderna del contenido físico del principio original de covarianza general es que el grupo de Lie $GL(4,R)$ es una simetría "externa" fundamental del mundo.

Me cuesta darme cuenta de si Diff $(M)$ es isomorfo a $GL(4,\mathbb{R})$ y si en este contexto hablar de grupo de difeomorfismo de GR es lo mismo que hablar de $GL(4,\mathbb{R})$ o si se trata de un subgrupo de Diff $(M)$ . ¿Cuál es exactamente su relación?

Answer 1

1. Sea dada una variedad real de 4 dimensiones $^1$ $M$ . Como dice OP, el conjunto ${\rm Diff}(M)$ es el grupo de definición global $C^{\infty}$ - difeomorfismos $f:M\to M$ . El conjunto ${\rm Diff}(M)$ es una dimensión infinita Grupo de Lie . (Para explicar matemáticamente lo que significa la frase anterior, habría que definir qué es un colector de dimensiones infinitas, lo que queda fuera del alcance de esta respuesta).

2. También existe la groupoide ${\rm LocDiff}(M) \supseteq {\rm Diff}(M)$ de definición local $C^{\infty}$ -difeomorfismos $f:U\to V$ (es decir, la invertible morfismos en el categoría ). Aquí $U,V\subseteq M$ son vecindarios abiertos (es decir, objetos de la categoría).

3. Lo anterior forma parte del imagen activa . A la inversa, en la imagen pasiva, existe el grupoide $LCT(M)$ de transformaciones locales de coordenadas $f:U\to V$ donde $U,V\subseteq\mathbb{R}^4$ . Heurísticamente, debido a las formulaciones duales activa y pasiva, los dos groupoides ${\rm LocDiff}(M)$ y $LCT(M)$ deben estar estrechamente relacionados a "nivel microscópico". (Dejamos al lector que intente precisar la frase anterior).

4. Consideremos a continuación la haz de marcos $F(TM)$ de la haz tangente $TM$ . Es un haz principal con grupo estructural $GL(4,\mathbb{R})$ que es una dimensión 16 Grupo de Lie .

5. Dados dos secciones $$(e_0, e_1, e_2, e_3), (e^{\prime}_0, e^{\prime}_1, e^{\prime}_2, e^{\prime}_3)~\in~ \Gamma(F(TM_{|W})), \tag{1}$$ en algún barrio $W\subseteq M$ , entonces existe una $GL(4,\mathbb{R})$ -sección valorada $$\Lambda~\in~\Gamma(GL(4,\mathbb{R})\to W), \tag{2}$$ de forma que las dos secciones (1) estén relacionadas a través de $^2$ $$e^{\prime}_{b}~=~ \sum_{a=0}^3 e_{a} \Lambda^{a}{}_{b}, \qquad b~\in~\{0,1,2,3\} \tag{3}. $$

6. A la inversa, dada sólo una de las secciones de la ec. (1), podemos utilizar un $GL(4,\mathbb{R})$ -(2) para definir el otro marco mediante la ec. (3).

7. Volvamos ahora al groupoide $LCT(M)$ y ver cómo el grupo de estructura $GL(4,\mathbb{R})$ entra. Veamos en detalle dos gráficos de coordenadas locales $U,U^{\prime}\subseteq M$ con solapamiento no vacío $U\cap U^{\prime}\neq \emptyset$ y con coordenadas locales $(x^0,x^1,x^2,x^3)$ y $(x^{\prime 0},x^{\prime 1},x^{\prime 2},x^{\prime 3})$ respectivamente. Entonces tenemos dos secciones definidas localmente $$\left(\frac{\partial}{\partial x^0}, \frac{\partial}{\partial x^1}, \frac{\partial}{\partial x^2},\frac{\partial}{\partial x^3}\right)~\in~ \Gamma(F(TM_{|U})), $$ $$\left(\frac{\partial}{\partial x^{\prime 0}}, \frac{\partial}{\partial x^{\prime 0}}, \frac{\partial}{\partial x^{\prime 0}},\frac{\partial}{\partial x^{\prime 0}}\right)~\in~ \Gamma(F(TM_{|U^{\prime}})), \tag{4}$$ en el haz de marcos. El análogo del $GL(4,\mathbb{R})$ -(2) viene dada por la (inversa) Matriz jacobiana $^1$ $$ \Lambda^{\mu}{}_{\nu} ~=~\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\prime \nu}},\qquad \mu,\nu~\in~\{0,1,2,3\}, \tag{5} $$ Véase el regla de la cadena .

8. A la inversa, observe que pas todos $GL(4,\mathbb{R})$ -(2) tienen la forma de una matriz jacobiana (5). Dado un sistema local de coordenadas $(x^0,x^1,x^2,x^3)$ y dado un $GL(4,\mathbb{R})$ -(2), estas dos entradas hacen pas definen necesariamente otro sistema local de coordenadas $(x^{\prime 0},x^{\prime 1},x^{\prime 2},x^{\prime 3})$ . En $GL(4,\mathbb{R})$ -(2) en ese caso evidentemente necesita satisfacer la siguiente condición de integrabilidad $$ \frac{\partial (\Lambda^{-1})^{\nu}{}_{\mu}}{\partial x^{\lambda}} ~=~ (\mu \leftrightarrow \lambda). \tag{6}$$

9. Hasta ahora sólo hemos hablado de un $4$ -manifold $M$ sin ninguna estructura. Para el resto de esta respuesta consideremos GR es decir, debemos equipar $M$ con un métrica $g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\odot \mathrm{d}x^{\nu}$ de firma $(3,1)$ .

10. Del mismo modo, introducimos una métrica de Minkowski $\eta_{ab}$ en la copia estándar $\mathbb{R}^4$ utilizado en el paquete $GL(4,\mathbb{R})\to W$ . Ahora restringimos a marcos ortonormales (aka. como (inverso) tétradas/vierbeínas ) $$(e_0, e_1, e_2, e_3)~\in~ \Gamma(F(TM_{|W})), \tag{7}$$ es decir, deben satisfacer la condición ortonormal $$ e_a\cdot e_b~=~\eta_{ab}. \tag{8} $$

11. En consecuencia, el grupo estructural $GL(4,\mathbb{R})$ del haz de marcos $F(TM)$ se sustituye por Grupo de Lorentz $SO(3,1;\mathbb{R})$ que es un $6$ -de Lie. En particular, las secciones (2) se sustituyen por definidas localmente $SO(3,1;\mathbb{R})$ -secciones valoradas $$\Lambda~\in~\Gamma(SO(3,1;\mathbb{R})\to W). \tag{9}$$ Esta restricción es necesaria para garantizar la existencia de representaciones espinoriales de dimensión finita, lo que a su vez es necesario para describir la materia fermiónica en el espacio curvo. Véase también, por ejemplo este Phys.SE post y este Puesto MO.SE.

12. Consideremos un funcional de acción covariante/geométrico $$S[g, \ldots; V]~=~\int_V \! d^4~{\cal L} \tag{10}$$ en una región espaciotemporal $V\subseteq M$ es decir $S[g, \ldots; V]$ es independiente de las coordenadas locales, es decir, invariante bajo el groupoide $LCT(M)$ . La acción $$S[g, \ldots; V]~=~S[f^{\ast}g, \ldots; f^{-1}(V)] \tag{11}$$ es entonces también invariante bajo pullback con difeomorfismos definidos localmente $f\in{\rm LocDiff}(M)$ .

13. En resumen, las simetrías de la RG son:

    • Retrocesos del grupo ${\rm Diff}(M)$ de difeomorfismos definidos globalmente.
    • Retrocesos por el groupoide ${\rm LocDiff}(M)$ de difeomorfismos definidos localmente.
    • El groupoide $LCT(M)$ de transformaciones locales de coordenadas, y
    • El local $SO(3,1;\mathbb{R})$ Transformaciones de Lorentz (9) de las tétradas/vierbeins.

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$^1$ En la mayor parte de esta respuesta, utilizaremos el lenguaje de un geómetra diferencial donde, por ejemplo, un punto/espacio-tiempo-acontecimiento $p\in M$ o, digamos, una línea del mundo tienen un significado geométrico absoluto. Sin embargo, el lector debe tener en cuenta que un relativista diría que dos situaciones físicas que difieren por un difeomorfismo global activo son físicamente equivalentes/indistinguibles, y por tanto un punto/espacio-tiempo-acontecimiento $p\in M$ sólo tiene un significado geométrico relativo.

$^2$ Convenios: Índices griegos $\mu,\nu,\lambda, \ldots,$ son los llamados curva mientras que los índices romanos $a,b,c, \ldots,$ son los llamados plano índices.

Answer 2

Ya se ha dado una muy buena respuesta a la pregunta anterior aquí , donde Marek resume las diferencias entre el grupo de simetría de una teoría y los grupos de transformaciones de coordenadas que dejan invariantes las ecuaciones.

En pocas palabras (pero es más complejo) dejemos que $f\colon U\to V$ sea cualquier transformación de coordenadas sobre gráficas de una variedad $U,V\subset\mathcal{M}$ (es decir, un cambio de coordenadas ). Bajo tales campos de transformación $\phi(x)$ se envían a $\phi'(f(x)) = S(x)\phi(x)$ .

Para que se cumplan las ecuaciones de movimiento, hay que exigir ciertas condiciones apropiadas sobre el factor $S(x)$ (en particular se puede ver que éstas podrían estar relacionadas con la representaciones del grupo de transformaciones subyacente $f$ ). El conjunto de todos los operadores permitidos $S(x)$ define el grupo de simetría de la teoría para el mapeo general $f$ tal y como se ha definido anteriormente. En el caso de la relatividad general $f$ son los difeomorfismos y $S(x)$ abarcan el grupo lineal general (hasta isomorfismos y productos cartesianos).