Utilizando $\epsilon-\delta$ -definición para demostrar el signo de $f$

Question

Teorema :

Si $f$ es continua en $a\in D_f$ en $f(a)\ne 0$ entonces $f$ contiene su signo en un entorno alrededor de un.

Prueba :

$\underline {f(a)\gt 0}:$ Toma $\epsilon =\dfrac{f(a)}{2}$ entonces garantiza la existencia de un $\delta\gt 0$ para que

$$|x-a|\lt\delta\Rightarrow f(a)-f(x)\le |f(a)-f(x)|\le \dfrac{f(a)}{2}\qquad(1.1) $$ $$\Longrightarrow |x-a|\lt\delta\Rightarrow 0\lt\dfrac{f(a)}{2}\lt f(x)\qquad (1.2) $$

Mis siguientes preguntas son:

• ¿Por qué en el paso 1.2 dice f(a) -f(x) y no f(x)-f(a)? Porque yo pensaría que lo tomaría de la $\epsilon-\delta$ -definición.

• Y es correcto explicar el paso 1.1 a 1.2 como porque $|f(a) -f(x)|= -f(a)+f(x)$ y $ f(a) -f(x)$ de modo que la segunda anule el lado izquierdo de la desigualdad del paso 1.1?

P.D:

Sé que dejé el segundo caso $f(a)\lt 0$ pero es análogo al caso anterior. Lo único que hay que sustituir es que $\epsilon=\dfrac{-f(a)} {2}$ y alterar la desigualdad.

Answer 1

Utilizando la definición del valor absoluto, $(1.1)$ podría reescribirse como :

$$ |x-a| <\delta \Rightarrow f(x)\in \left[ \frac{f(a)}{2} , \frac{3\,f(a)}{2}\right]$$

Mi consejo sería simplemente olvidar $ f(a) -f(x)$ y trabajar sólo con $|f(a) -f(x)|$

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Sin embargo, no puede dar por sentado que conoce el signo de $f(a)-f(x)$ como se supone en su segundo punto. Tienes que trabajar con el valor absoluto en su lugar.

Eso le permitiría escribir $-\epsilon<f(a) -f(x)<\epsilon$ o $-\epsilon<f(x) -f(a)<\epsilon$ (a su elección) para demostrar $(1.2)$

Answer 2

Si $|u-v|< \epsilon$ entonces $u-v< \epsilon$ y $v-u< \epsilon$ .

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