Minimice $\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(z^2+x^2\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x^2+y^2\right)}$

Question

Dados los números positivos $x, y, z$ satisfacer $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1$ minimizar $$\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(z^2+x^2\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x^2+y^2\right)}$$

Answer 1

Si $x=y=z=\sqrt3$ obtenemos el valor $\frac{3\sqrt3}{2}$ . Probaremos que $$\sum_{cyc}\frac{y^2z^2}{x(y^2+z^2)}\geq\frac{3\sqrt3}{2}$$ o $$\sum_{cyc}\frac{y^2z^2}{x(y^2+z^2)}\geq\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}}$$ o $$\sum_{cyc}\frac{y^3z^3}{y^2+z^2}\geq\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3x^4y^4z^4}{x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2}}.$$ Sea $yz=a$ , $xz=b$ y $xy=c$ .

Por lo tanto, tenemos que demostrar que $$\sum_{cyc}\frac{a^3}{\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}}\geq\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3a^2b^2c^2}{a^2+b^2+c^2}}$$ o $$\sum_{cyc}\frac{a}{b^2+c^2}\geq\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{a^2+b^2+c^2}}$$ y como la última desigualdad es homogénea, podemos suponer que $a^2+b^2+c^2=3$ .

Es decir, tenemos que demostrar que $$\sum_{cyc}\frac{a}{3-a^2}\geq\frac{3}{2}$$ o $$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{3-a^2}-\frac{1}{2}\right)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}\frac{(a-1)(a+3)}{3-a^2}\geq0$$ o $$\sum_{cyc}\left(\frac{(a-1)(a+3)}{3-a^2}-(a^2-1)\right)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}\frac{a(a+2)(a-1)^2}{3-a^2}\geq0.$$ ¡Hecho!