Cerrazón en la demostración del Teorema de Alaoglu

Question

Estoy leyendo una prueba del Teorema Bourbaki-Alaoglu:

¿Podría alguien explicar cómo la cerrazón de $\Phi(V^\circ)$ (a saber, $\Phi(V^\circ)$ contiene todos sus puntos límite) se realiza en la prueba ?

No entiendo en absoluto el paso de "la continuidad de las funciones de coordenadas demuestra que ...". (¿Dónde se utiliza la continuidad?)

Answer 1

Demuestra que $\Phi(V^o)$ está cerrado en $K$ lo que implica, por la compacidad de $K$ que $\Phi(V^\circ)$ es compacto.

Supongamos que $\{\Phi(\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}$ es una red en $\Phi(V^\circ)$ que converge en la topología del producto a $\psi$ en $K=D^V$ . Si $x,y,x+y,\lambda x\in V$ entonces (ya que por continuidad de los mapas de coordenadas la convergencia en la topología del producto es la misma que la convergencia puntual, que es lo mismo que ) \begin{align*} \psi(x+y)&=\lim_{\alpha\in A}\left[\Phi(\varphi_\alpha)(x+y)\right]\\ &=\lim_{\alpha\in A}\left[\Phi(\varphi_\alpha)(x)+\Phi(\varphi_\alpha)(y)\right]\\ &=\lim_{\alpha\in A}\Phi(\varphi_\alpha)(x)+\lim_{\alpha\in A}\Phi(\varphi_\alpha)(y)\\ &=\psi(x)+\psi(y) \end{align*} y \begin{align*} \psi(\lambda x)&=\lim_{\alpha\in A}\left[\Phi(\varphi_\alpha)(\lambda x)\right]\\ &=\lim_{\alpha\in A}\lambda\Phi(\varphi_\alpha)(x)\\ &=\lambda\lim_{\alpha\in A}\Phi(\varphi_\alpha)(x)\\ &=\lambda\psi(x) \end{align*}

Hemos demostrado que $\psi:V\to D$ es lineal. Además, $\psi$ determina un mapa $\hat\psi:X \to\Bbb{F}$ por
$$ \hat\psi(x)=\frac{\psi(t_xx)}{t_x},\quad x\in X $$ donde $t_x>0$ se elige de forma que $t_xx\in V$ . La existencia de $t_x$ se debe a que $V$ es absorbente (ya que es una vecindad de $0$ ).

Tenemos la siguiente observación para $\hat\psi$ . Supongamos que $x\in X$ y $t>0$ tal que $tx\in V$ . Entonces tenemos $$ \hat\psi(x)=\frac{\psi(tx)}{t}. $$ En efecto, $$ \frac{\psi(tx)}{t}=\frac{\psi(\frac{t}{t_x}t_xx)}{t} =\frac{\frac{t}{t_x}\psi(t_xx)}{t} = \frac{\psi(t_xx)}{t_x}=\hat\psi(x). $$ Ahora queremos demostrar que $\hat\psi\in V^\circ$ . En primer lugar, demostramos que $\hat\psi$ es lineal, es decir $\hat\psi\in X^*$ . Considere $x,y\in X$ . Desde $V$ es absorbente, existe $t>0$ tal que $$ tx,ty,t(x+y)\in V. $$ Por la observación anterior, tenemos $$ \hat\psi(x)=\frac{\psi(tx)}{t},\quad \hat\psi(y)=\frac{\psi(ty)}{t},\quad \hat\psi(x+y)=\frac{\psi(t(x+y))}{t}. $$ De ello se deduce que $$ \hat\psi(x+y)=\frac{\psi(t(x+y))}{t}=\frac{\psi(tx)+\psi(ty)}{t}=\hat\psi(x) +\hat\psi(y). $$ Considere $x\in X$ y $\lambda\in \Bbb{F}$ . Por el hecho de que $V$ vuelve a absorber, existe $t'>0$ tal que $tx,t(\lambda x)\in V$ y así $$ \hat\psi(\lambda x) =\frac{\psi(t\lambda x)}{t} =\frac{\lambda\psi(t x)}{t} =\lambda\hat\psi(x). $$ Ahora queremos demostrar que $\hat\psi\in V^\circ$ . Utilizando de nuevo la observación anterior, tenemos para cada $x\in V$ $$ |\hat\psi(x)|=|\psi(x)|\leq 1. $$ Por definición de $V^\circ$ , $\hat\psi\in V^\circ$ . Desde $\hat\psi|_V=\psi$ concluimos que $\Phi(\hat\psi)=\psi$ lo que da la cerrazón de $\Phi(V^\circ)$ .

Answer 2

Idea: lo tenemos $V^0$ es homeomorfa (en topologías "correctas") a su imagen $\Phi(V^0)\subset K$ y $K$ es compacto. Una vez que probamos que la imagen es cerrada entonces también es compacta, así que $V^0$ es una imagen continua (bajo $\Phi^{-1}$ ) del conjunto compacto, por tanto, compacto.

Para demostrar que es cerrado, prueban que un punto de cluster de la imagen pertenece a la imagen, es decir, corresponde a algún funcional en $V^0$ . Los detalles pueden ser los siguientes. Deje que $k^\alpha$ sea una red en la imagen que converge a $k$ . Entonces existe una red de preimágenes $\phi^\alpha$ . Las funciones son lineales, es decir $k_{x+y}^\alpha=k_x^\alpha+k_y^\alpha$ etc. La continuidad de las funciones de coordenadas significa que para cualquier $x\in V$ tenemos $k_x^\alpha\to k_x$ lo que da la misma identidad para los límites $k_{x+y}=k_x+k_y$ . La linealidad permite construir el correspondiente funcional lineal $\phi$ como punto de preimagen. Así, $k$ está en la imagen.