La motivación de estable homotopy teoría

Question

Una estable homotopy categoría puede ser obtenida por la modificación de la categoría de punta CW-complejos: los objetos se señaló CW-complejos, y para dos de CW-complejos de $X$$Y$, tomamos $$\lbrace X,Y \rbrace = \mathrm{colim}[\Sigma^kX,\Sigma^kY]$$ como un hom-set de$X$$Y$. Aquí $\Sigma X = X \wedge S^1$.

¿Cuál es la motivación de estudiar un género más ampliamente estable homotopy teoría)?

Para mí, la definición de los hom-set se ve muy elegante, y no puedo ver por qué una categoría es tan importante (o útil para la topología).

Answer 1

Muchas facetas de homotopy teoría surgió a partir del trabajo de J. H. C. Whitehead. Una vez que se dio cuenta de que la clasificación hasta homotopy tipo de decir finito simplicial complejos fue esencialmente una contables problema, la pregunta surgió de intentar varios casos especiales, como un paso para el problema general. La idea era modelo homotopy tipos de modelos algebraicos. Él y Mac Lane demostrado que conectado señaló homotopy $2$-tipos (a la que llamaron $3$-tipos) fueron clasificados por cruzó los módulos. Whitehead también logró clasificar a todos simplemente se conecta $4$-dimensiones complejos. Él también parecía clasificar a $A^n_2$-complejos, es decir, que se $n$-conectado y de dimensión $\leqslant n+2$, $n \geqslant 4$.

Además de trabajar sobre estos problemas ha sido realizado por Baues, y otros.

Así que un tipo de respuesta es que estable homotopy teoría es una aproximación a homotopy teoría, es conveniente por muchas razones, como bien se explica por Dylan Wilson, pero hay todo tipo de problemas y las técnicas a su alrededor, especialmente aquellos en los que el grupo fundamental juega un papel esencial.