El límite de ${x^{x^x}}$ como $x\to 0^+$

Question

Quería determinar lo siguiente: \begin{align*} \lim_{x\to 0^+}{x^{x^x}} &= 0 \end{align*} Ya se ha publicado una pregunta al respecto, pero los argumentos que se exponen no parecen del todo formales: Límite de ${x^{x^x}}$ como $x\to 0^+$

Quería ver si podíamos usar el hecho de que sabemos que $\lim_{x\to 0^+}{x^x} =1$

$\lim_{x\to 0^+}{x^{x^x}} = \lim_{x\to 0^+}e^{x^xlnx}=e^{{\lim_{x\to 0^+}x^xlnx}} $ pero no veo que esto me ayude como $lnx$ tiene aquí un límite infinito.

¿Alguna idea sobre cómo conseguir una buena solución para esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que $a* \pm \infty$ con $a\in \mathbb{R}$ ¡no es una forma indeterminada! Observe también que $\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty$

Por lo tanto:

$$\lim_{x\to 0^+}{x^{(x^x)}} = \lim_{x\to 0^+}e^{x^xlnx}=e^{{\lim_{x\to 0^+}x^xlnx}} = e^{{\lim_{x\to 0^+}x^x * \lim_{x\to 0^+} lnx}} = e^{1*(-\infty)} = 0$$