Órbitas gravitatorias cerradas y sistemas de gradiente

Question

Actualmente estudio dinámica no lineal en mi tiempo libre. Uno de los teoremas del material es que los sistemas que se pueden escribir como problemas de gradiente no pueden tener órbitas cerradas, es decir, sistemas como $$\dot{x}=-\nabla V.\tag{1}$$

¿No es esta la forma general de un sistema gravitatorio con $V$ que es el potencial gravitatorio (u otros sistemas conservativos) y $x$ siendo el impulso? ¿Qué me estoy perdiendo aquí, sabiendo que tales problemas (gravedad y similares) a menudo tienen órbitas cerradas?

Vea esto como referencia http://www.cds.caltech.edu/archive/help/uploads/wiki/files/224/cds140b-perorb.pdf

Answer 1

1. La ecuación (1) de OP es Mecánica aristotélica $$ m\dot{q}^i~=~-\frac{\partial V(q)}{\partial q^i} \qquad\Rightarrow\qquad V_i-V_f ~=~2 \int_{t_i}^{t_f} \! \mathrm{d}t ~E_{{\rm kin}} \tag{A}$$ Esto es disipativo. No hay $^1$ órbitas cerradas.

2. En cambio Mecánica newtoniana $$ m\ddot{q}^i~=~-\frac{\partial V(q)}{\partial q^i}\qquad\Rightarrow\qquad V_i+E_{{\rm kin},i} ~=~ V_f+E_{{\rm kin},f} \tag{N}$$ conserva energía mecánica para las fuerzas conservadoras.

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$^1$ Prueba indirecta de una línea: Una órbita cerrada significaría que el LHS de la segunda igualdad en la ec. (A) es cero, pero el RHS es claramente positivo. Contradicción. $\Box$

Answer 2

Lo que te confunde es el hecho de que has omitido implícitamente el argumento de $V$ . La definición de sistema de gradiente ( http://www.cds.caltech.edu/archive/help/uploads/wiki/files/224/cds140b-perorb.pdf ) es tal que

$$\dot{x}=-\nabla V(x)$$

por lo que si define $x$ sea el momento, entonces ahora tienes un potencial que depende del momento, lo que no es equivalente a un sistema gravitatorio (tiene un potencial que depende sólo de la posición).