Divisores de Cartier y puntos no reducidos

Question

Sea X un esquema no proyectivo no reducido y sea D un divisor de Cartier efectivo en X. ¿Por qué D es disjunto de $Ass(\mathcal{O}_X)$ ? En otras palabras, ¿por qué los puntos reducidos no pueden estar en el soporte de ningún divisor de Cartier eficaz?

La pregunta surge al intentar comprender el ejemplo de Kleimann de un esquema no proyectivo y no reducido para el que no existe una correspondencia biyectiva entre los divisores de Cartier y los haces de líneas.

Gracias de antemano por cualquier información.

Answer 1

Podemos reducir a la definición de un eficaz Divisor Cartier $D$ sobre el régimen $X$ que es un subesquema cerrado $D\subset X$ .
Dicho divisor está definido localmente en un subconjunto abierto afín $U= Spec(A)\subset X$ por $U\cap D= V(f)$ donde $f\in A$ no es un zerodivisor .
Para concluir hay que recordar que si el anillo $A$ es noetheriano sus divisores cero son exactamente la unión de sus primos asociados (Atiyah-Macdonald Prop.4.7) : $$Zdiv(A)=\bigcup_{\mathfrak p\in Ass(A)} \mathfrak p=\bigcup_{\mathfrak p\; \text {a minimal prime}} \mathfrak p$$

Observación
Esta definición del divisor de Cartier tiene muchas ventajas.
En concreto, tenemos $dim(D)\lt dim(X)\:$ (si $dim(X)\lt \infty $ ) y esto se violaría con una definición menos estricta de "divisor":
Por ejemplo $X$ la cruz $X=V(xy)\subset k[x,y]=\mathbb A^2_k$ ( $k$ un campo).
Si permitiera $D=V(\bar x)\subset X$ como divisor de Cartier, tendrías $dim(D)=dim(X)$ : este es el castigo por permitir un divisor cero como $\bar x$ (con $\bar x \bar y=0)$ para definir un divisor de Cartier.

Answer 2

Si $x$ es punto en el soporte de $D$ entonces $D$ se define localmente en $x$ por un elemento regular en el ideal maximal $m_x$ de $O_{X,x}$ . Si $x$ es un punto asociado, entonces, por definición, $m_x$ no contiene ningún elemento regular, contradicción.