Una variante de la ecuación de Fokker-Planck

Question

Consideremos la EDP de $p(t,x)\ge 0$ dado como

$$\partial_t p = \frac{\partial^2_{xx}p}{(1+m(t))^2} - \partial_x p,\quad \forall t,~x \in (0,\infty)$$

con condiciones iniciales y de contorno $p(0,\cdot)=\rho$ , $p(\cdot,0)=0$ et $p(\cdot,\infty)=0$ donde $\rho:(0,\infty)\to\mathbb R_+$ es una densidad de probabilidad y

$$m(t)=\int_0^{\infty}p(t,x)dx.$$

Esta EDP tiene su origen en Ecuación de Fokker-Planck para procesos de difusión muy degenerados et $p(t,\cdot)$ representa un flujo de subprobabilidades cuya masa total es decreciente, es decir $0\le m\le 1$ es decreciente en $\mathbb R_+$ . ¿Podríamos esperar una fórmula explícita para $p$ o derivar la EDO satisfecha por $m$ ?

Agradeceré cualquier respuesta, comentario o referencia.

Answer 1

Esto no es una respuesta, aunque creo que es más adecuado escribirlo aquí en lugar de publicar una pregunta relacionada. Hágamelo saber si no es aceptable.

Juego para $t\ge 0$

$$M(t):=\int_0^t(1+m(s))^2ds.$$

Entonces $M:\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ es continua (incluso diferenciable) y estrictamente creciente. Defina $q: \Omega\to\mathbb R_+$ por $q(t,x):=p\big(M(t), x+M(t)\big)$ donde $\Omega:=\{(t,x)\in\mathbb R^2: t\ge 0, x\ge -M(t)\}$ . Un cálculo sencillo da como resultado

\begin{eqnarray} \partial_t q &=& \partial^2_{xx} q,\quad \forall t>0, x>-M(t),~~(1) \\ M(t) &=& \int_0^t (1+m(s))^2ds,\quad \forall t\ge 0~~ ~(2) \\ q(0,x)&=&\rho(x),\quad \forall x\ge 0,~~~~~~~~ (3)\\ q(t,-M(t))&=& 0,\quad \forall t>0,~~~~~~~~ (4)\\ \partial_x q\big(t,-M(t)\big)&=&-m'(t)\big(1+m(t)\big)^2, \quad \forall t>0~~(5) \end{eqnarray}

Aquí $(1-5)$ deja de ser similar al sistema que surge en el Lemma 2.1 de Soluciones clásicas para una ecuación no lineal de Fokker-Planck en neurociencia computacional . Así que mi pregunta se puede reformular como si $(1-5)$ ¿está bien planteado?

PS : (5) se deduce de la integración de $p$ en $\mathbb R_+$ con respecto a $x$ :

\begin{eqnarray} m'(t)=\partial_t\left(\int_0^{\infty}p(t,x)dx\right)& =&\int_0^{\infty}\partial_tp(t,x)dx \\ &=& \frac{1}{(1+m(t))^2}\int_0^{\infty}\partial^2_{xx}p(t,x)dx - \int_0^{\infty}\partial_{x}p(t,x)dx \\ &=& \frac{1}{(1+m(t))^2}\partial_{x}p(t,x)|_0^{\infty} \\ &=& -\frac{1}{(1+m(t))^2}\partial_{x}p(t,0). \end{eqnarray}