Cómo evaluar $\int_{-\infty}^{0}e^{s}\ln(s)ds$ y demostrar que es igual a $(-\gamma+i\pi)$ ?

Question

He descubierto esta interesante integral: $$\int_{-\infty}^{0}e^{s}\ln(s)ds$$ que está relacionada con otra forma de mi trabajo anterior con la función $f(x)=\frac{x^{s-1}}{s^{x}-1}$ entonces como es esto interesante se dice que esta integral "diverge" pero por algún cálculo numérico esta aproximada a un valor finito $(-\gamma+i\pi)$ como en el mundo esto tiene algo que ver con $\pi$ y la constante de Mascheroni de Euler y $i$ ?

Estaba intrigado pero no sé una manera de demostrar que esto es realmente equivalente o tal vez aproximado : $$\int_{-\infty}^{0}e^{s}\ln(s)ds -\gamma+i\pi$$

Lo que he intentado hasta ahora, no me lleva a ninguna parte he intentado utilizar el Teorema de convergencia dominada (DCT) para $e^{s}$ pero no estoy familiarizado con el concepto por lo que no soy capaz de aplicarlo correctamente, la expresión binomial también me está dando muchos problemas después de expresarla en forma de (DCT) y haciendo algunas sustituciones

Y si de alguna manera alguien puede explicar cómo se relaciona esto con $\pi$ ¡y Euler-constante sería mucho más apreciado gracias!

Answer 1

Suponiendo que esté utilizando la rama principal de $\ln$ , \begin{align*} \int_{ - \infty }^0 {e^s \ln (s)ds} & = \int_0^{ + \infty } {e^{ - t} \ln ( - t)dt} = \int_0^{ + \infty } {e^{ - t} \ln (t)dt} + \int_0^{ + \infty } {e^{ - t} \pi idt} \\ &= \left[ {\frac{d}{{dx}}\int_0^{ + \infty } {e^{ - t} t^{x - 1} dt} } \right]_{x = 1} + \int_0^{ + \infty } {e^{ - t} \pi idt} = \Gamma '(1) + \pi i = - \gamma + \pi i. \end{align*}