Analiticidad real de $\sqrt{x}\coth(\sqrt{x})$ función decreciente con respecto a la derivación

Question

Intento demostrar que $\frac{\sqrt{x}}{\tanh(\sqrt{x})}$ es analítica real en $x=0$ (con la determinación principal de $\sqrt x$ ).

Aparentemente (es decir, gracias a los gráficos con Maple) $n \mapsto |f^{(n)}(x)|$ es decreciente para todo $x$ en, digamos, $(-1,1)$ esto daría un límite uniforme en $\sup_{(-1,1)} |f^{(n)}|$ y así la analiticidad.

¿Existe alguna literatura sobre estas funciones? Es decir, ¿hay alguna forma inteligente de mostrar una propiedad de este tipo? (Derivar a mano da cálculos bastante horribles en los que potencias negativas de $x$ se aniquilan mutuamente, pero de una forma bastante oscura).

Answer 1

Comience con las expansiones en serie de potencias de $\sinh(x)$ et $\cosh(x)$ : $$ \begin{align} \sinh(x)&=x + x^3/6+x^5/120+x^7/5040+\cdots\\ \cosh(x)&=1+x^2/2+x^4/24+x^6/720+\cdots\\ \tanh(x)=\sinh(x)/\cosh(x)&=x-x^3/3+2x^3/15-17x^5/315+\cdots\\ \coth(x)&=x^{-1}+x/3-x^3/45+2x^5/945-\cdots\\ x\coth(x)&=1+x^2/3-x^4/45+\cdots\,, \end{align} $$ y ahora sustituye $\sqrt x$ para $x$ utilizando el hecho de que tu serie final tiene todos los términos de grado par.