¿Es completamente regular la extensión de una topología completamente regular a un conjunto mayor?

Question

Sea

1. $(X,\mathcal T)$ sea un espacio topológico completamente regular (no necesariamente Hausdorff)

2. $Y$ sea cualquier superconjunto de $X$ . (se puede suponer $|Y\setminus X|=1$ ).

3. $\mathcal S$ sea la topología en $Y$ generado por $\mathcal T$ .

Es $(Y,\mathcal S)$ ¿completamente regular?

Es $X$ denso en $Y$ ?

Answer 1

Nunca será regular, y mucho menos completamente regular. Obsérvese que la topología $\mathcal{S}$ será $\mathcal{T} \cup \{ Y \}$ . Se deduce que dado cualquier $A \subseteq Y$ tenemos $Y \setminus X \subseteq \overline{A}$ . Por lo tanto, si $x \in X$ y $U$ es una vecindad abierta de $x$ en el $\mathcal{T}$ -entonces para cualquier vecindad abierta $V$ de $x$ tendremos $\overline{V} \nsubseteq U$ .

$X$ será denso en $Y$ por el motivo indicado anteriormente.