disco de Teichmueller y el $\mathrm{SL}_2\mathbb{R}$ acción

Question

Sea $(X,\omega)$ sea una superficie de Riemann de género $g$ con 1 forma holomorfa $\omega$ (o equivalentemente una estructura de traducción). Sea $\Omega\mathcal{T}_g$ sea el espacio de las formas holomorfas 1 sobre el género $g$ superficie. El famoso $\mathrm{SL}_2\mathbb{R}$ acción sobre $\Omega\mathcal{T}_g$ se define componiendo cada gráfico de coordenadas de $(X,\omega)$ con matrices en $\mathrm{SL}_2\mathbb{R}$ . Se afirma que al descender a $\mathbb{H}$ y $\mathcal{T}_g$ de su haz tangente/cotangente, el $\mathrm{SL}_2\mathbb{R}$ incrusta el plano hiperbólico $\mathbb{H}$ isométricamente en el espacio de Teichmuller $\mathcal{T}_g$ del género $g$ .

Algunas cosas que he aprendido hasta ahora:

• $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$ se identifica con $T^1\mathbb{H}$ eligiendo $(i,i)\in T^1\mathbb{H}$ para la matriz identidad. Para cualquier $g\in \mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$ identificado con $(x,v)\in T^1\mathbb{H}$ , $ga_t$ traza la geodésica en $\mathbb{H}$ de paso $x$ con vector tangente $v$ .
• Sea $a_t:=\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\ 0&e^{-t/2} \end{pmatrix}, t\in\mathbb{R}$ . La acción de $a_t$ estira la dirección horizontal y encoge la dirección vertical de $(X,\omega)$ . Por el teorema de Teichmuller, $a_t\cdot (X,\omega)$ traza la geodésica en $\mathcal{T_g}$ de paso $X$ con marcado $id_X$ como $t$ varía.

Por tanto, si la incrustación viene dada por la identificación de $T^1\mathbb{H}$ con $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}\cdot (X_0,\omega_0)$ anterior, la curva $t\mapsto a_tg$ en $T^1\mathbb{H}$ se envía a la geodésica $t\mapsto a_t\cdot (X,\omega)$ en $\mathcal{T}_g$ dado que $(X,\omega)=g\cdot (X_0,\omega_0)$ . Sin embargo, la primera curva $t\mapsto a_tg$ NO es la geodésica sino una escala del número complejo $x$ al que $g$ se identifica con. El hecho de que una no-geodésica sea enviada a una geodésica contradice la afirmación de que la incrustación de $\mathbb{H}$ es isométrico. Creo que la cuestión aquí es que el flujo geodésico en $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$ es una multiplicación JUSTA por $a_t$ mientras que el $\mathrm{PSL_2}\mathbb{R}$ acción sobre $\Omega\mathcal{T}_g$ es de izquierda a derecha.

¿Dónde se equivoca mi argumento? ¿O definimos la identificación de $\mathbb{H}$ con $\mathrm{SO(2)}\backslash \mathrm{SL}_2\mathbb{R}\cdot (X_0,\omega_0)$ ¿De otro modo?

Pido disculpas de antemano si este tipo de preguntas no tienen cabida aquí. El enlace al mismo post en MSE https://math.stackexchange.com/questions/2822006/teichmuller-disk-and-mathrmsl-2-mathbbr-action

Answer 1

He encontrado una respuesta a mi pregunta con la que estoy satisfecho estudiando el documento original de Veech: Curvas de Teichmuller en el espacio de moduli, series de Eisenstein y una aplicación al billar triangular . Consideró dos acciones sobre $\Omega \mathcal{T}_g$ . Uno es el $PSL_2(\mathbb{R})$ acción de la izquierda mencionada anteriormente, y la otra es una acción de $Aff^+(X,\omega)$ el grupo de homeomorfismos afines que conservan la orientación desde la derecha. Aunque el grupo Veech $SL(X,\omega)$ puede definirse como estabilizador de $PSL_2(\mathbb{R})$ acción o la imagen de diferencial $D:Aff^+(X,\omega)\rightarrow PSL_2(\mathbb{R})$ el flujo geodésico en $\Omega\mathcal{T}_g$ debe definirse realmente como la acción correcta de $\phi_t\in Aff^+(X,\omega)$ cuya derivada $D\phi_t=a_t$ en lugar de la multiplicación a la izquierda por $a_t$ . Lo primero es exactamente lo que hizo Veech en su artículo. Sin embargo, en el estudio que leí se definía el flujo geodésico de la segunda manera y me confundió este punto técnico.