Me confundo un poco al recordar la serie infinita. El Cálculo de Thomas dice: La suma de dos series divergentes puede ser convergente dando un ejemplo: $\sum1 + \sum-1 = \sum0=0$ . También sabemos que $\sum(-1)^n$ es divergente. Sin embargo, ¿no podemos pensar que la serie $\sum(-1)^n=-1+1-1+1\cdots$ es igual a $\sum1 + \sum-1$ ? ¿Qué distingue exactamente a estas series?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos que tenemos dos secuencias $\{a_n:n\ge1\}$ y $\{b_n:n\ge1\}$ y queremos encontrar el límite de la suma de estas dos secuencias. Entonces $$ \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n $$ siempre que ambas secuencias $\{a_n:n\ge1\}$ y $\{b_n:n\ge1\}$ converger. Si no es así, la igualdad podría no cumplirse.
Recordemos que una serie es el límite de la sucesión de las sumas parciales.
Lo que en realidad estás haciendo en tu ejemplo es el reordenamiento de los términos de la serie, que no necesariamente te da el mismo límite a menos que la serie sea absolutamente convergente. Reordenando una serie condicionalmente convergente podrías obtener cualquier cosa. Este es el famoso Teorema de la serie de Riemann .
Espero que esto ayude.
