¿Cómo puedo comprobar si mi derivada de una función implícita es correcta?

Question

Para las funciones explícitas puedo calcular la derivada en un punto determinado utilizando la función original: $$\frac{f(1+0.1) - f(1)}{0.1}$$

Y luego usar $\frac{d}{dx}f(1)$ para comprobar si la función es correcta. ¿Pero qué puedo hacer para las funciones implícitas? ¿Cómo puedo calcular el cambio y luego compararlo con mi función derivada?

Edición: por ejemplo, si me pidieran que diferenciara $f(x)=x^2+\tanh(x)$ y si no estoy seguro de mi respuesta puedo escribirla en la calculadora: $$\frac{f(5+0.000001) - f(5)}{0.000001}$$ y luego comprobar mi $\frac{d}{dx}f(5)$ deberían ser aproximadamente iguales. Mi pregunta es si tengo una función implícita como $$xy^3=\tan(x+2y)-(x^2-1)$$ y después de diferenciarlo cómo puedo comprobar si es correcto

Answer 1

Primero se puede calcular la derivada real para un par de $(x,y)$ que satisfaga la ecuación, entonces elige un $Δx$ , entonces comprueba si $\left(x+\Delta x,y+\Delta x\frac{dy}{dx}\right)$ satisface aproximadamente la ecuación.

Por ejemplo, parece que $\left(0, -\pi/8\right)$ es una raíz de su ecuación. Así que puedes elegir $x' = 0.000001$ y encontrar el correspondiente $y'$ utilizando la derivada:

$$\begin{align*} 3xy^2\frac{dy}{dx} + y^3 &= \sec^2(x+2y)\left(1+2\frac{dy}{dx}\right) -2x\\ 3xy^2\frac{dy}{dx} -2\sec^2(x+2y)\frac{dy}{dx} &= \sec^2(x+2y) -2x - y^3\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{\sec^2(x+2y) -2x - y^3}{3xy^2 -2\sec^2(x+2y)}\\ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{\left(0,-\frac\pi8\right)} &= \frac{2+\frac{\pi^3}{8^3}}{-4} \end{align*}$$

Así que dejemos $$y' = -\frac\pi8 +\frac{2+\frac{\pi^3}{8^3}}{-4}\cdot0.000001 \approx -0.392699596839\ldots$$

$$LHS = x'\left(y'\right)^3 = -6.0559372465\ldots×10^{-8}$$ $$RHS = \tan\left(x'+2y'\right)-\left(x'\right)^2 + 1 = -6.056\ldots×10^{-8}$$

Y espero que esté lo suficientemente cerca...

Answer 2

Gran pregunta - este tipo de cosas aparecen todo el tiempo al escribir código para resolver problemas de optimización con restricciones.

La estrategia estándar es la siguiente. En primer lugar, se necesita un mecanismo para resolver $y$ dado $x$ . Por ejemplo, puede utilizar Método de Newton o búsqueda de bisección o lo que sea. Recomiendo el método de Newton con búsqueda de líneas de retroceso . Puede comprobar que el código del solucionador es correcto introduciendo $x,y$ en la ecuación original y verificando que el residuo es cero.

Entonces ese complicado código del solucionador es su función $y=f(x)$ y puedes comprobar tu derivada con diferencias finitas $(f(x+h)-f(x))/h$ con una dirección aleatoria $h$ como mencionas en el post original.

Para asegurarse de que su código no converja a una raíz diferente cuando calcule $y_2 = f(x+h)$ Utiliza tu original $y_1 = f(x)$ como la conjetura inicial en su solucionador.

Otro consejo es elegir varios tamaños de paso de diferencias finitas diferentes, por ejemplo $10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3} \dots, 10^{-7}$ y trazar el error en la derivada en un gráfico logarítmico. El error debería disminuir linealmente hasta alrededor de la raíz cuadrada del épsilon de la máquina - para dobles el épsilon de la máquina es alrededor de $10^{-15}$ Por lo tanto, normalmente se verá una línea recta que desciende hasta que el tamaño del escalón es de alrededor de $10^{-7}$ Después, el redondeo numérico toma el relevo. Si su código funciona, debería obtener algo parecido al siguiente gráfico.

Answer 3

Para una función implícita F(x,y) la fórmula es:

$$ \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{F_x}{F_y} ...(1*) $$

$$ F = x\, y^3 + (x^2-1) - \tan ( x+ 2 y) $$

$$ F_x = y^3 + 2 x - \sec^2 ( x+ 2 y) ; F_y = 3 x y^2 -2 \sec^2 ( x+ 2 y) ; $$

y conectarlos, para evaluar $\frac {dy}{dx}$ en cualquier (x,y).

¿Cómo se consigue este resultado?

Diferenciar F(x,y)= 0 ; Diferencial total

$$ F_x dx + F_y dy = 0.$$

Para comprobar mediante el cálculo en cualquier punto, mantenga constante x y calcule $F_y $ diferencial de la forma que has indicado, entonces mantén y constante y calcula $ F_x $ de la misma manera, utilice (1*).