El área es la base multiplicada por la altura.
He aquí una prueba sólo ligeramente deshonesta. Necesitarás tijeras y papel. Haz un paralelogramo $ABCD$ . Para que este paralelogramo se parezca al que tengo en la cabeza, los vértices $A$ , $B$ , $C$ , $D$ están en orden antihorario la base $AB$ está en la parte inferior, y el punto $A$ está a la izquierda. Además, el paralelogramo se "inclina" hacia la derecha, pero no se inclina una cantidad ridícula.
Sea $P$ sea el punto donde la perpendicular $D$ se encuentra con la línea $AB$ . Si usted está dibujando la imagen que tengo en mente, $P$ está entre $A$ y $B$ . Trazar la perpendicular desde $C$ a la prolongación del segmento de recta $AB$ . Supongamos que esta perpendicular se encuentra con $AB$ ampliado a $Q$ .
Bien, ya está todo listo. Tenga en cuenta que los triángulos $APD$ y $BQC$ son congruente . Esto es fácil, los ángulos coinciden y $AD=BC$ .
Ahora coge unas tijeras, recortar $\triangle APD$ y coloque el triángulo cortado de modo que cubra $\triangle BQC$ . Así que hemos cortado nuestro paralelogramo en dos trozos, y hemos vuelto a ensamblar los trozos para formar el rectángulo $PQCD$ . Por tanto, el paralelogramo y el rectángulo tienen la misma área. Pero el área del rectángulo es claramente $PQ$ veces $DP$ que es $AB$ veces $PD$ .
Observación: Mi afirmación de que hice trampa puede resultar desconcertante. Pero dibuje el paralelogramo de modo que se incline ridículamente a la derecha, de modo que la perpendicular $DP$ se encuentra con la línea $AB$ a la derecha de $B$ . Entonces se rompe el argumento que acabamos de dar. Se puede arreglar.
Hay muchas matemáticas interesantes relacionadas con la disección de figuras geométricas y la reorganización de las piezas para formar otra figura geométrica. Por ejemplo, hay pruebas muy bonitas del Teorema de Pitágoras que se pueden cortar y pegar. También te puede interesar el Teorema de Bolyai-Gerwien.
