comprensión de la prueba del teorema de escisión

Question

Estoy intentando comprender la prueba del teorema de escisión en homología siguiendo la topología algebraica de Hatcher. Llegué a la siguiente pregunta simple, que yo era incapaz de entender completamente.

Para un espacio topológico $X$ , dejemos que $C_n(X)$ denota el grupo abeliano libre sobre singular $n$ -simples $\sigma:\Delta^n\rightarrow X$ (continuo). Sea $A,B$ sean subespacios de $X$ de forma que sus interiores cubran $X$ .

Q.1 ¿Es cierto que $C_n(A\cap B)=C_n(A)\cap C_n(B)$ al considerarlos subgrupos de $C_n(X)$ ?

Según el libro de Hatcher, deja que $C_n(A+B)$ denota las sumas de cadenas en $A$ y cadenas en $B$ . La segunda pregunta sencilla es

Q.2 ¿Significa esto que $C_n(A+B)=C_n(A)+C_n(B)$ donde $C_n(A),C_n(B)$ se consideran subgrupos de $C_n(X)$ ?

Llegué a estas preguntas porque no entendía la siguiente afirmación de Hatcher:

El mapa $C_n(B)/C_n(A\cap B)\rightarrow C_n(A+B)/C_n(A)$ inducido por inclusión es obviamente un isomorfismo porque ambos grupos cociente son libres con base el singular $n$ -simples en $B$ que no se encuentran en $A$ .

(Si la respuesta a ambas preguntas es afirmativa, entonces la afirmación citada no es más que el tercer teorema de isomorfismo; pero me preguntaba si esta justificación es correcta).

Answer 1

Q.1 ¿Es cierto que $C_n(A\cap B)=C_n(A)\cap C_n(B)$ al considerarlos subgrupos de $C_n(X)$ ?

Sí. Se puede pensar en un elemento de $C_n(X)$ como una enorme tupla de enteros, uno por cada singular $n$ -simplex de $X$ (y con todos menos finitamente muchos de ellos siendo $0$ ). $C_n(A)$ son todas las tuplas que son $0$ en todos los singulares $n$ -símplices que no están contenidos en $A$ . Así que $C_n(A)\cap C_n(B)$ son todas las tuplas que son $0$ en todas las símplices singulares que no están contenidas en $A$ y también $0$ en todas las símplices singulares que no estén contenidas en $B$ . Es decir, sólo pueden ser distintos de cero en las símplices singulares contenidas en $A\cap B$ por lo que es lo mismo que $C_n(A\cap B)$ .

Q.2 ¿Significa esto que $C_n(A+B)=C_n(A)+C_n(B)$ donde $C_n(A),C_n(B)$ se consideran subgrupos de $C_n(X)$ ?

Sí, por definición.

En cuanto a la afirmación de Hatcher, se puede entender utilizando el tercer teorema del isomorfismo, pero merece la pena comprender la justificación de Hatcher. Es instructivo considerar el siguiente ejemplo de juguete. Consideremos $X=\{0,1,2\}$ con $A=\{0,1\}$ y $B=\{1,2\}$ . En este caso sólo hay tres símplices singulares en $X$ los tres mapas constantes. Identifiquemos $C_n(X)$ con $\mathbb{Z}^3$ siendo las tres coordenadas los coeficientes de las tres símplices. Tenemos entonces $C_n(A)=\{(x,y,0):x\in\mathbb{Z}\}$ , $C_n(B)=\{(0,y,z):y,z\in\mathbb{Z})$ , $C_n(A\cap B)=\{(0,y,0):y\in\mathbb{Z}\}$ y $C_n(A+B)=C_n(X)=\{(x,y,z):x,y,z\in\mathbb{Z}\}$ . Ahora podemos ver explícitamente que el cociente $C_n(B)/C_n(A\cap B)$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$ enviando el coset de $(0,y,z)\in C_n(B)$ à $z$ . Del mismo modo, el cociente $C_n(A+B)/C_n(A)$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$ enviando el coset de $(x,y,z)\in C_n(A+B)$ à $z$ .

La historia general es básicamente la misma. Ambos $C_n(B)/C_n(A\cap B)$ y $C_n(A+B)/C_n(A)$ son isomorfos al grupo que se obtendría considerando sólo las coordenadas de las símplices que están en $B$ pero no en $A$ .