una conjetura continuó-fracción de $\cot\left(\frac{z\pi}{4z+2n}\right)$ que conduce a un nuevo límite para $\pi$

Question

En este post,se me planteó un similar conjetura para$\displaystyle\tan\left(\frac{z\pi}{4z+2n}\right)$, pero no se obtiene ningún respuestas útiles.

Dado un número complejo $\begin{aligned}\frac{z}{n}=x+iy\end{aligned}$ y una función gamma $\Gamma(z)$ $x\gt0$ , se cree que los siguientes continuó fracción de $\displaystyle\cot\left(\frac{z\pi}{4z+2n}\right)=\frac{\displaystyle\psi\left(\frac{3z+2n}{4z+2n}\right)-\displaystyle\psi\left(\frac{z}{4z+2n}\right)}{\pi}$ es cierto

$$\begin{aligned}\displaystyle\cot\left(\frac{z\pi}{4z+2n}\right)=\frac{\displaystyle\Gamma\left(\frac{z}{4z+2n}\right)\Gamma\left(\frac{3z+2n}{4z+2n}\right)}{\displaystyle\Gamma\left(\frac{z+n}{4z+2n}\right)\Gamma\left(\frac{3z+n}{4z+2n}\right)}=\cfrac{2z+2n}{2z+n+\cfrac{(0z-n)(4z+3n)} {3(2z+n)+\cfrac{(2z+0n)(6z+4n)}{5(2z+n)+\cfrac{(4z+n)(8z+5n)}{7(2z+n)+\cfrac{(6z+2n)(10z+6n)}{9(2z+n)+\ddots}}}}}\end{aligned}$$ O en la de gauss, la notación $$\begin{aligned}\displaystyle\cot\left(\frac{z\pi}{4z+2n}\right)=-\frac{1}{2z+2n}\underset{m=0}{\overset{\infty}{\mathbf K}}\frac{((2m-2)z+(m-2)n)((2m+2)z+(m+2)n)}{((2m+1)(2z+n)}\end{aligned}$$ Corolarios:

1):vamos a $z=1$$n=1$, $$\begin{aligned}\cfrac{4}{3-\cfrac{(1)(7)} {9+\cfrac{(2)(10)}{15+\cfrac{(5)(13)}{21+\ddots}}}}=\sqrt{3}\end{aligned}$$

2):natural de número de $k$,es claro que la continuidad en la fracción $\displaystyle\cot\left(\frac{k\pi}{p}\right)$ puede ser expresado en términos de bienes raíces cuadradas ,iff $p$ es una de fermat primer acuerdo de gauss, resultado de la edificable polígonos.

3):sin Embargo, el caso más interesante,se produce cuando tomamos el límite a cero(debido a abel del teorema)

$$\begin{aligned}\lim_{z\to0} \cfrac{z}{2z+1+\cfrac{(0z-1)(4z+3)} {3(2z+1)+\cfrac{(2z+0)(6z+4)}{5(2z+1)+\cfrac{(4z+1)(8z+5)}{7(2z+1)+\cfrac{(6z+2)(10z+6)}{9(2z+1)+\ddots}}}}}=\frac{1}{\pi}\end{aligned}$$ produciendo un nuevo límite para $\pi$.

Q: Es la conjetura continuó fracción verdadero (para todos los números complejos $z$$x\gt0$)?

Actualización:me define inicialmente la continuación de la fracción $\displaystyle\cot\left(\frac{z\pi}{4z+2}\right)$ sólo para números naturales,sino como una cuestión de hecho que tiene para todos los números complejos $z$ con parte real mayor que cero.

Answer 1

O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Capítulo XI, Sección 82.

Satz 5 en la página 488 (2ª edición, 1927):

Continuó fracción $$ d+\underset{k=1}{\desbordado{\infty }{\mathbf K}}\; \frac{a+bk+ck^2}{d+ek} $$ con $c \ne 0, e \ne 0, e^2+4c \ne 0$ tiene valor $$ \frac{\sqrt{e^2+4c}\;{}_2F_1(\alpha,\beta;\gamma;x)\;\gamma}{{}_2F_1(\alpha+1,\beta+1;\gamma+1;x)}, $$ donde $\alpha,\beta$ son las raíces de la ecuación cuadrática $cZ^2-bZ+a=0$, $$ \gamma = \frac{b+c}{c 2}\left(1-\frac{e}{\sqrt{e^2+4c}\;}\right) +\frac{d}{\sqrt{e^2+4c}\;} \\ x=\frac{1}{2}\left(1-\frac{e}{\sqrt{e^2+4c}\;}\right) $$ Elija la raíz cuadrada de modo que $$ \mathrm{Re}\frac{e}{\sqrt{e^2+4c}\;}>0 . $$

Así que sustituyendo los valores en este problema, la pregunta Es: ¿ $$ \cuna\left(\frac{z\pi}{4z+2n}\right) = \frac{\displaystyle(z+n)\sqrt{2}\; {}_2F_1\left(\frac {n}{2z+n},\frac{4z+3n}{2z+n}; \frac{3}{2};\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)} {\displaystyle(2z+n)\; {}_2F_1\left(\frac{-(2z+2n)}{2z+n},\frac{2z+2n}{2z+n}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)} ? $$ Escrito $z/(4z+2n) = t$ y tomando el recíproco, la pregunta Es: ¿ $$ \tan(t\pi) = \frac{{}_2F_1\left(4t-2,-4t+2; \frac{1}{2};\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)} {\sqrt{2}(1-2t)\;{}_2F_1\left(4t-1,-4t+3; \frac{3}{2};\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)} ? $$

prueba de esto

Uso cuadrática transformación

$$ {}_2F_1\left(2a,2b;a+b+\frac{1}{2};u\right)= {}_2F_1\left(a,b;a+b+\frac{1}{2};4u(1-u)\right) $$

para obtener $$ {}_2F_1\left(4t-2,-4t+2; \frac{1}{2};\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) ={}_2F_1\left(2t-1,-2t+1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right) = \sin(\pi t) $$

$$ {}_2F_1\left(4t-1,-4t+3; \frac{3}{2};\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) ={}_2F_1\left(2t-\frac{1}{2},-2t+\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right) =\frac{\cos(\pi t)}{\sqrt{2}(1-2t)} $$ Estos son conocidos para la mayoría de CASs.