Demostrar una desigualdad integral elemental ( $L^2$ estimación) que surge con la ecuación de onda

Question

¿Cómo puedo demostrar que $$\Vert u \Vert_{L^2} \le \Vert u_1 \Vert_{L^2} + t \Vert u_2 \Vert_{L^2},$$ donde $$u(t,x) = \frac{u_1(x+t) + u_1(x-t)}{2}+ \frac{1}{2}\int_{-t}^t u_2(x+y)\ dy \ ?$$

$u_1,u_2\in L^1 \cap L^2$ .

---

El problema se plantea en la EDP (con la ecuación de onda).

Answer 1

Si $y\in\mathbb R$ defina el operador de traslación $\tau_y$ por $\tau_yv(x)=v(x-y)$ . Utilizando la desigualdad del triángulo y la desigualdad de Minkowski para integrales en tu fórmula para $u(t,x)$ , obtenemos: $$ \|u(t,.)\|_{L^2}\le\frac{1}{2}(\|\tau_{-t}u_1\|_{L^2}+\|\tau_tu_1\|_{L^2})+\frac{1}{2}\int_{-t}^t\|\tau_{-y}u_2\|_{L^2}dy. $$ Pero por la invariancia de traslación de la medida de Lebesgue, $\|\tau_yv\|_{L^2}=\|v\|_{L^2}$ por lo que el lado derecho se convierte en: $$ \|u(t,.)\|_{L^2}\le\|u_1\|_{L^2}+\frac{1}{2}\int_{-t}^t\|u_2\|_{L^2}dy=\|u_1\|_{L^2}+t\|u_2\|_{L^2}. $$

Answer 2

Utiliza la desigualdad del triángulo: $$ \lVert u(t,x) \rVert_2 \leq \frac{1}{2} \lVert u_1(x+t) \rVert_2 + \frac{1}{2} \lVert u(x-t) \rVert_2 + \frac{1}{2}\left\lVert \int_{-t}^t u_2(x+y) \, dy \right\rVert_2 $$ La norma es invariante de la traslación, por lo que los dos primeros términos son iguales a $\lVert u_1 \rVert_2/2$ . Para el último término, utilizamos la desigualdad triangular integral $\left\lVert \int_{\Omega} f(x,y) \, d\mu(y) \right\rVert_2 \leq \int_{\Omega} \lVert f(x,y) \rVert_2 \, d\mu(y) $ y la invariancia de traslación, para hallar $$ \frac{1}{2}\left\lVert \int_{-t}^t u_2(x+y) \, dy \right\rVert_2 \leq \frac{1}{2} \int_{-t}^t \lVert u_2(x+y) \rVert_2 \, dy = t \lVert u_2 \rVert_2. $$