Un problema muy interesante sobre la aproximación de números enteros

Question

Dados dos números reales a y b y un umbral t>0, trate de encontrar el menor número entero positivo n s.t. an y bn están lo suficientemente cerca de algunos enteros con su diferencia menor que t.

Creo que n no siempre existe. Pero incluso si existe (en el caso de t grande), un algoritmo fino para n es difícil de desarrollar.

Answer 1

Creo que lo que preguntas es lo siguiente. Dados números reales $a$ , $b$ y $t > 0$ ¿existe algún número entero positivo $n$ tal que $\|an\| < t$ y $\|bn\| < t$ donde $\|x\| = \min_{j \in {\mathbb Z}} |x - j|$ ? La respuesta es sí, y de hecho se puede hacer algo mejor. En general, para $m$ números reales $a_1, \ldots, a_m$ existen infinitas enteros positivos $n$ de forma que $\|a_j n\| < n^{-1/m}$ . La frase que hay que buscar es "aproximación simultánea diofantina".