Una pregunta del Análisis de Munkres sobre Manidolds (P. 55, E. 10)

Question

• Defina $f: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}$ estableciendo $f(\mathbf{0})=0$ y $$ f(x, y)=x y\left(x^{2}-y^{2}\right) /\left(x^{2}+y^{2}\right) \text { if }(x, y) \neq 0 $$

i) Mostrar $f$ es de clase $C^{1}$ en $\mathbf{R}^{2} .$ [Pista: Mostrar $D_{1} f(x, y)$ es igual al producto de $y$ y una función acotada, y $D_{2} f(x, y)$ es igual al producto de $x \text { and a bounded function. }]$

Mi intento. $D_1 f(x,y)=\frac{d}{d x}\left(\frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}\right)=\frac{y\left(x^{4}+4 x^{2} y^{2}-y^{4}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}$ y $D_2 f(x,y)=\frac{d}{d y}\left(\frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}\right)=\frac{x\left(-y^{4}-4 x^{2} y^{2}+x^{4}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}.$

Ahora, ¿cómo puedo utilizar la pista, puede ayudar? Gracias...

¿Podemos decir $\frac{\left(x^{4}+4 x^{2} y^{2}-y^{4}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}$ es una función acotada en $D_1 f(x,y)$ ?

Answer 1

Cambiar a coordenadas polares:

$D_1 f(x,y)=\frac{d}{d x}\left(\frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}\right)=\frac{y\left(x^{4}+4 x^{2} y^{2}-y^{4}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=y\left(\frac{r^4(\cos^4 t+4\cos^2 t \sin^2 t-\sin^4t )}{r^4}\right)\le 6y$ .

Del mismo modo para $D_2f(x,y)$