¿Qué es una extensión abeliana maximal de un campo numérico y cómo se ve su grupo de Galois?

Question

¿Cómo se sabe que un campo numérico $K$ tiene una extensión abeliana maximal (única salvo isomorfismo) $K^{\text{ab}}?

He leído pruebas que implican el lema de Zorn que tiene un cierre algebraico (Y que los cierres algebraicos son únicos salvo isomorfismo.) $\bar{K}$. Todas estas pruebas involucraron ideales del anillo de polinomios en variables $x_f$, $f$ un polinomio mónico irreducible en $K[x]$, pero no veo ninguna forma obvia de "restringir" esta prueba a extensiones abelianas.

Intenté demostrar que tal extensión existe usando el lema de Zorn: Sea $\Sigma$ el conjunto de todos los subgrupos abelianos de $\text{Gal}(\bar{K}/K)$ parcialmente ordenados por inclusión. Cualquier cadena de subgrupos $(G_\alpha)$ tiene una cota superior, es decir, $\bigcup_\alpha G_\alpha$ (que es un [sub]grupo ya que cada $G_\alpha$ está contenido en otro), entonces por el lema de Zorn, $\Sigma$ tiene un elemento maximal. Pero no tengo que este elemento sea único (y tampoco creo que haya demostrado que $\bigcup_\alpha G_\alpha$ sea abeliano).

Además, ¿cómo se relaciona $\text{Gal}(K^\text{ab}/K)$ con $\text{Gal}(\bar{K}/K)$? Mi intento incompleto de una prueba con el lema de Zorn no me dice cuál debería ser el grupo de Galois abeliano maximal, y no conozco muchas formas de encontrar subgrupos abelianos.

Answer 1

Existencia: No es difícil comprobar que un compositum de extensiones abelianas es nuevamente abeliano (el grupo de Galois del compositum se integra en el producto de los grupos de Galois individuales) y la extensión abeliana maximal de $K$ es precisamente el compositum de todas esas extensiones. Una vez que hayas construido un cierre algebraico, no tienes que preocuparte por trabajar directamente con polinomios mínimos.

Relación con $\operatorname{Gal}(\overline{K}/K)$: Como se mencionó en los comentarios, el grupo de Galois de la extensión abeliana maximal es solo la abelianización del grupo de Galois absoluto. Ten en cuenta que este proceso de abelianización puede ser trivial (aunque no para campos numéricos) -- si comienzas con un campo finito, o $\mathbb{R}$, su cierre algebraico ya es una extensión abeliana.

Cómo se ve: Sorprendentemente, esta es una pregunta en gran medida abierta, y simplemente te referiré brevemente a toda la rama de la teoría de números conocida como teoría de cuerpos de clases. Cuando $K=\mathbb{Q}$, la respuesta está completamente entendida (pero bastante no trivial): La extensión abeliana maximal es el campo obtenido adjuntando todas las raíces de la unidad a $\mathbb{Q}$, es decir, el campo de descomposición del conjunto de polinomios $x^n-1$ para todo $n\geq 1$. El grupo de Galois es precisamente $\prod \mathbb{Z}_p^\times$, donde el producto se extiende sobre todos los números primos $p$. (Ten en cuenta que este es un grupo no numerable). También hay una versión explícita de tal afirmación en el caso en que $K$ es cuadrático imaginario, donde la extensión maximal se obtiene adjuntando valores especiales de funciones definidas en curvas elípticas. Más allá de esos dos casos, el estado del arte va desde conjeturas bastante explícitas (por ejemplo, conjeturas Stark para campos totalmente reales, en particular campos cuadráticos reales) hasta completamente desconocidas. Dicho esto, hay muchas cosas interesantes conocidas sobre estos campos y sus grupos de Galois que no llegan a ser una construcción explícita, pero sospecho que están más allá del alcance de la respuesta que estabas buscando.