Segunda clase de Chern de una superficie reglada

Question

Dejemos que $S$ sea una superficie reglada sobre una curva de género $g$ . ¿Es posible calcular la segunda clase de Chern de $S$ en términos de $g$ ?

Answer 1

Claro, por qué no. Riemann-Roch para superficies da $1+p_a=\frac{1}{12}(K^2+c_2)$ Véase el apéndice A, ejemplo 4.1.2 en Hartshorne. También tiene $K^2=8(1-g)$ y $p_a=-g$ Ver V.2.11 y V.2.4 respectivamente en Hartshorne. Uniendo todo esto se obtiene que $c_2=4(1-g)$ .