Transformada de Fourier de la función de potencia $t^\alpha$

Question

Mientras estudiaba el ruido 1/f, encontré esta página web http://www.dsprelated.com/showarticle/40.php

Da los siguientes pares de transformadas de Fourier

Sin embargo, no hay explicaciones detalladas sobre cómo se obtiene esta fórmula.

¿Puede ayudarnos? Gracias.

Answer 1

Función gamma se define por $$\Gamma(z)=\int_0^\infty x^{z-1}e^{-x}dx$$

Ahora $z=\alpha+1$ , $x=t$ y obtienes esto:

$$\Gamma(\alpha+1)=\int_0^\infty t^{\alpha}e^{-t}dt.$$

Y la transformada de Fourier es definido por

$$\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i \omega t}dt.$$

Sustituyendo $f(t)=u(t)t^\alpha$ lo tendrás:

$$\hat f(\omega)=\int_0^\infty t^\alpha e^{-i\omega t}dt.$$

Esto es casi la fórmula anterior para la función Gamma. Ahora sustituya $v=i\omega t$ entonces $t=\frac v{i\omega}$ y tenemos:

$$\hat f(\omega)=(i\omega)^{-\alpha-1}\int_0^\infty v^\alpha e^{-v}dv=(i\omega)^{-\alpha-1}\Gamma(\alpha+1).$$

Ahora se trata de tomar el valor absoluto y el argumento de la respuesta para calcular la magnitud y la fase.