Vale, engaño descarado, como prometí.
Parte 1. Empecemos por algo.
Necesitamos una función acotada en $\Re z>1$ y creciendo no demasiado rápido en cada línea vertical cuyos ceros están en algún lugar a la izquierda. Lo primero que me viene a la mente es $1$ . No hay ceros a la vista, hermoso control en líneas verticales. Lo único que falta es la falta de límites en las líneas verticales. $\Re z=1$ .
Parte 2. ¡Empuja hacia arriba!
Ahora queremos añadir algunos baches en el camino sin incidentes $\Re z=1$ . Lo natural es añadir un bulto cada vez. Tenemos dos opciones para el bumping: la suma y la multiplicación. Como queremos controlar los ceros sin problemas, usaremos la multiplicación. Entonces, buscaremos un producto infinito.
Tercera parte. Un pequeño bulto.
Tomar alguna función entera $g$ limitado por $1$ en el semiplano derecho, tendiendo a $0$ al infinito en cualquier semiplano derecho, y alcanzando su máximo de valor absoluto en $\Re z\ge 1$ en $1$ donde es real y positivo. Denotemos $g(1)=a>0$ . La elección exacta no importa. Me quedo con $g(z)=\frac{1-e^{-z}}{z}$ . Ponga $F(z)=1+g(z)$ . Ahora el viaje a lo largo de la línea $\Re z=1$ ya no es tan suave: hay que ascender a una pequeña colina en $1$ . Sin embargo, en el infinito todo se nivela a $1$ uniformemente en cualquier semiplano derecho. Además, si hay algún cero, todos tienen partes reales no positivas.
Cuarta parte. Ampliar el bache (ser ingenuo y justo)
Sólo levanta $F$ a una alta potencia $N$ . Tendrás el bulto tan grande como quieras. El problema es que también se hace enorme bien a la derecha de $1$ .
Parte 5. Discriminar los números con la parte real grande.
Sustituir $g(z)$ por $g(z)e^{-n^2z}$ . Por supuesto, el valor en $1$ sufrirá enormemente, pero todo con parte real mayor que $1$ sufrirán mucho más (que es el objetivo de cualquier discriminación verdadera).
Parte 6: Amplificar con discriminación.
Subir $F(z)=1+g(z)e^{-nz}$ al poder $N$ . Conseguiremos $(1+ae^{-n^2})^N$ en $1$ pero sólo como máximo $(1+ae^{-n^2-2n})^N$ para $\Re z>1+\frac 2{n}$ . Elija $N\approx a^{-1}e^{n^2+n}$ . Conseguiremos sobre $e^{n}$ en $1$ y como máximo $1+2e^{-n}$ a la derecha de $1+\frac 2n$ . Ahora bien, es todo un bache, y es junto a invisible sólo un poco a la derecha de $1$ .
Parte 7: Envíelo por la línea para cumplir la normativa local.
Sustituir $F(z)^N$ con $F(z-iy_n)^N$ con grandes $y_n$ para satisfacer la restricción de crecimiento polinómico en $\Re z>-n$ : hagamos incluso $|F(z)^N-1|<2^{-n}(1+|z|)^{2^{-n}}$ en $\Re z>-n$ . Recuerda que aunque nuestra función de protuberancia es enorme, sigue estando acotada en cualquier semiplano derecho y se nivela a $1$ en el infinito allí. También tenemos $|F(z)|^N\le 1+2e^{-n}$ cuando $\Re z>1+\frac 2n$ independientemente del envío.
Parte 8. Ponga la producción y el envío de protuberancias en la cinta transportadora con $n=1,2,3,...$ y disfrute del producto.
Por supuesto, esto es tan desvergonzado, abominable y, en su mayor parte, ilegal como cualquier fabricación sometida a regulaciones gubernamentales laxas. Se ha aprovechado cada resquicio que se podía explotar en la formulación del problema. Así que, por favor, no aceptes ni votes. En su lugar, piense en cómo endurecer las regulaciones para obligar a alguien a hacer un trabajo honesto. :)
