Cálculo de la suma Cesaro de $1-1+0+1-1+0+\dots$

Question

Estoy teniendo dificultades para entender cómo encontrar la suma Cesaro de la serie:

$1-1+0+1-1+0+\dots$

Sé que la secuencia de sumas parciales será:

$1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,\dots$

Y por lo tanto la media de las sumas parciales será:

$1, 1/2, 1/3, 1/2, 2/5, 1/3, 3/7,3/8, 1/3, 2/5, 4/11, 1/3, \dots$

Sé que esto es básicamente todo lo que tengo que hacer, pero estoy confundido en cuanto a ver realmente lo que la suma converge a.

¿Cómo puedo mostrar a qué converge?

Parece que es sólo $1/3$ ¿pero cómo puedo estar seguro y demostrarlo?

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Otra pregunta:

Tengo esta serie y otra que se generaron insertando ceros en la serie Grandi.

Esto obviamente cambia la suma Cesaro de esta serie de la serie Grandi (podemos ver arriba que esto no es convergente en $1/2$ como la serie Grandi).

Mi pregunta es, dada una serie convergente (una serie convergente estándar), ¿cambiará su suma si le insertamos ceros?

Mi opinión hasta ahora es que no debería.

Al sumar una serie normal, no es necesario sacar medias, por lo que la adición de ceros no cambiará nada.

Sólo tienes que seguir añadiendo ceros a la suma parcial, pero no tendrán ningún efecto, ya que no tienes que sacar una media como en la suma de Cesaro.

¿Le parece correcto?

Gracias

Answer 1

En el $k$ n grupo de tres términos se tienen los valores $$\frac{k}{3k-2},\ \frac{k}{3k-1},\ \frac{k}{3k}$$ donde el "índice de grupo" $k$ atraviesa $1,2,3,\cdots .$ En esta forma es más fácil ver que como $k$ se hace grande el límite es $1/3$ como tú dices.

Para la otra pregunta, si una serie es originalmente convergente, la inserción de $0$ términos no cambia las cosas, esencialmente por la razón que has dado. Pero si la serie original no es convergente en el sentido habitual, sin embargo cesaro-converge, a continuación, como su ejemplo muestra la inserción de ceros puede cambiar la suma cesaro.