Cómo encontrar dado por los puntos $(x_0,y_0)=(0.8,2.1)$ ¿los dos primeros pasos del método de Newton?

Question

Cómo encontrar dado por los puntos $(x_0,y_0)=(0.8,2.1)$ dos primeros pasos del método de Newton, con el fin de aproximar para $f(x,y)=x^3+14x+x^2y^2-5y$ un resultado de sistema de ecuación $\nabla f(x,y)=(0,0)$ ?

Esto es lo que he encontrado:

$$\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2+14+2xy^2$$ $$\frac{\partial f}{\partial y}=2x^2y5$$

Sea $g(x,y)=3x^2+14+2xy^2$ y $h(x,y)=2x^2y5$ .

Construyo el jacobiano $J(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}\\ \frac{\partial h}{\partial x}& \frac{\partial h}{\partial x} \end{pmatrix}$ .

No sé si esto ha sido de ayuda, pero ¿qué debo hacer a continuación?

Answer 1

Así que tienes una matriz que se parece a esto: $$\begin{pmatrix}6x+2y^2&4xy\\4xy&2x^2\end{pmatrix}$$ Let $(x_0,y_0)=(1,2)$, which is very close to $(0.8,2.1)$, plug in and get$$\begin{pmatrix}14&8\\8&2\end{pmatrix}$$ La ecuación de linealización es $$L_f(x,y)=\begin{pmatrix}f_x(x_0,y_0)\\f_y(x_0,y_0)\end{pmatrix}+J_f(x_0,y_0)\begin{pmatrix}x-x_0\\y-y_0\end{pmatrix}$$ So it is $$L_f(x,y)=\begin{pmatrix}25\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}14&8\\8&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0.8-1\\2.1-2\end{pmatrix}$$