$MLE$ de $\theta$ cuando $X_1 , X_2 , ..., X_n$ es una muestra con pdf $f(x, \theta) = e^{\theta - x}; x \ge \theta$

Question

¿Cómo podemos encontrar el $MLE$ de $\theta$ cuando $X_1 , X_2 , ..., X_n$ es una muestra con pdf $f(x, \theta) = e^{\theta - x}; x \ge \theta$ ?

$L(\theta) = \prod_{i = 1}^{n} e^{\theta - x_{i}}$

$L(\theta) = e^{n\theta}e^{-\sum_{i = 1}^{n}x_i}$

$\ln(L(\theta)) = n\theta - \sum_{i = 1}^{n}x_i$

Entonces tengo que resolver $\frac{\partial\ln(L(\theta))}{\partial\theta} = 0$ . Pero..:

$\frac{\partial\ln(L(\theta))}{\partial\theta} = n$ .

Estoy atascado :/

Answer 1

Sugerencia : Demuestre y utilice que la función de verosimilitud es de la forma $$ L(\theta)=\mathrm{e}^{\theta n}\mathrm{e}^{-\sum x_i}\mathbf{1}_{\min(x_1,\ldots,x_n)\geq \theta}. $$