¿Alguien puede ayudar a decir cómo sumar $$\sum_{-\infty}^{\infty} \sum_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$$ en otras palabras quiero sumar $e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$ en todos los pares de coordenadas enteras de una cuadrícula infinita. Perdón por la molestia, y he hecho un poco de "tarea", cómo calcular la integral bidimensional similar se entiende. Gracias de antemano.
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David C. Ullrich
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Dudo que exista una forma cerrada. Dices que has hecho cálculos por ordenador que sugieren que la suma es $2\pi$ . Es imposible demostrar que la suma es $2\pi$ simplemente calculando, pero aquí hay una forma que podría funcionar para mostrar que la suma es no exactamente $2\pi$ utilizando un ordenador ( Edita: Resulta que la suma es mayor que $2\pi$ lo cual es casi una lástima, porque está claro cómo podría establecerse numéricamente; la parte interesante del argumento que sigue es mostrar cómo podríamos haber establecido numéricamente que la suma era menor que $2\pi$ ):
Obsérvese en primer lugar que decir que la suma es $2\pi$ es lo mismo que decir que $\sum_{-\infty}^\infty e^{-n^2/2}=\sqrt{2\pi}$ . Ahora
$$\sum_{|n|>N}e^{-n^2/2}\le2\int_N^\infty e^{-t^2/2}dt\le\frac2N\int_{N}^\infty te^{-t^2/2}dt=\frac2Ne^{-N^2/2}.$$ Así que $$\sum_{n=-N}^Ne^{-n^2/2}\le\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-n^2/2} \le\sum_{n=-N}^Ne^{-n^2/2}+\frac2Ne^{-N^2/2}.$$ Así que si encuentra un $N$ con $\sum_{n=-N}^Ne^{-n^2/2}>\sqrt{2\pi}$ entonces la suma es mayor que $\sqrt{2\pi}$ Obviamente, y quizás no tan obviamente si encuentra un $N$ con $\sum_{n=-N}^Ne^{-n^2/2}+\frac2Ne^{-N^2/2}<\sqrt{2\pi}$ entonces la suma es inferior a $\sqrt{2\pi}$ . (Apuesto por esto último).
