Utilizar el Teorema de Rolle para demostrar que una función tiene dos raíces.

Question

Soy estudiante de secundaria y actualmente estoy aprendiendo el Teorema de Rolle. He recibido la pregunta:

Demostrar que hay exactamente dos números reales positivos $x$ tal que $e^x = 3x$ .

Esto es lo que he hecho para responder:

$f(0) = 1 > 0$ ,

$f(1) = e - 3 < 0$ .

Debe haber un punto entre $x=1$ y $x=0$ , $x_{0}$ tal que $f(x_{0}) = 0$ . Por lo tanto, hay una raíz.

Supongamos que existe otra raíz tal que $x_{1} > x_{0}$ .

Por el Teorema de Rolle, como esta función es diferenciable y continua, debe existir un punto $c$ tal que $f'(c) = 0$ entre $x = x_{1}$ y $x = x_{0}$ .

$f'(x) = e^x - 3$ .

Esto puede equivaler a $0$ pero sólo hay una raíz en esta ecuación. Por lo tanto, sólo puede haber otra raíz, ya que hay un punto de inflexión.

No estoy seguro de si esto es suficiente o realmente legítimo... ¿Funciona o habría que añadir algo más? Es sólo una pregunta de mi libro de texto por lo que no necesita ser perfecto, pero tiene que mostrar el punto y ser bastante correcto.

Muchas gracias,

Aidanaidan12

Answer 1

En realidad, necesita dos raíces reales de esta expresión. Sólo tienes una contigo. El argumento de Rolle que has hecho , demuestra que puede haber como máximo dos raíces reales.

No has encontrado la otra verdadera raíz. Para ello, tenga en cuenta que $f(2) = e^2 - 6 > 0$ . Así que hay una raíz real entre $1$ y $2$ también. Estas pueden ser las únicas raíces reales de Rolle. Así que casi habías terminado, pero necesitabas la ubicación de la segunda raíz.

Recuerda : Por el teorema de Rolle, si la derivada tiene como máximo $n$ raíces reales, entonces la propia función tiene como máximo $n+1$ raíces reales. No se puede decir nada más : así, por ejemplo, ver que la derivada es cero no te dice que tenga que haber una segunda raíz.