Categorías infinitas estables frente a categorías dg

Question

¿Cuál es la relación entre las categorías dg y estable $\infty$ -¿Categorías?

Dada una dg-categoría se puede formar su dg-nervio y obtener una $\infty$ -categoría (que será estable si la dg-categoría lo es?). ¿Se puede convertir una $\infty$ -categoría en una dg-categoría o $A_\infty$ -¿categoría de alguna manera?

He oído la afirmación de que al menos sobre un campo de característica cero las teorías estables $\infty$ -categorías y dg-categorías son "equivalentes".

¿Cuál sería una formulación precisa de esta afirmación y cuál una referencia?

Answer 1

Véase el reciente documento

• Lee Cohn, Differential graded categories are k-linear stable infinity categories, arXiv:1308.2587

donde se ha escrito una prueba. La afirmación precisa es que la $(\infty,1)$ -asociada a la estructura del modelo de Morita en las categorías dg sobre $k$ (donde los objetos fibrantes son categorías dg pretrianguladas karoubianas) es equivalente a la $(\infty,1)$ -categoría de establo karoubiano $k$ -lineal $(\infty,1)$ -categorías.

Actualización: Aunque Cohn trabaja sobre la característica cero, Bertrand Toen me dijo que sus argumentos son válidos en características arbitrarias.

Véase también el nuevo documento

• Giovanni Faonte, Nervio simplicial de una categoría A-infinita, arXiv:1312.2127

donde se demuestra que el functor dg-nerve toma pretriangulado dg-categorías a estable $(\infty,1)$ -categorías.

Answer 2

He aquí algunas observaciones...

1. Creo que existen categorías infinitas estables que no son la dg-nerve (resp. $A_\infty$ -nerve) de una categoría dg (resp. $A_\infty$ categoría). En particular, la categoría de espectros no debería surgir de esta manera. Creo que Keller tiene un artículo sobre categorías diferenciales graduadas que responde a esta pregunta; en algún momento señala que la categoría de homotopía de espectros no es "algebraica", pero que las categorías de homotopía de categorías diferenciales graduadas sí lo son (y de hecho engloban todas las categorías algebraicas de este tipo). Ahora bien, ¿podría definirse de algún modo la "aproximación de categoría dg más cercana" a una categoría infty estable dada? Probablemente. No sé cómo. O quizás se me ocurriría cómo, pero no estoy seguro de la utilidad que tendría si el functor no fuera una equivalencia
2. Para responder a la pregunta de Fernando, véase DAG X.5 o DAG VII.6.2. Es decir, un $\infty$ -categoría sobre un campo $k$ es un presentable, estable $\infty$ -equipada con una acción del monoidal $\infty$ -categoría de $k$ -modulo spectra". A menos que me equivoque, creo que esto implica básicamente que está enriquecido y tensado sobre espectros k-módulo.
3. Esta sería una formulación precisa de la afirmación sobre las categorías sobre un campo de característica cero: El funtor dg-nerve induce una equivalencia de $\infty$ -categorías entre las $\infty$ -que subyace a la categoría modelo de las categorías dg sobre k y la categoría $\infty$ -categoría de estables, k-lineales $\infty$ -categorías. (No pretendo abrumar con "infinitos", lo plantearía en el mundo quizás más amable de las categorías modelo, pero no estoy seguro de cuál es precisamente la categoría modelo que corresponde a estable, k-lineal $\infty$ -categorías). No conozco ninguna referencia a una prueba, aunque Lurie alude mucho a ello. Sería estupendo que alguien lo escribiera.