Confusión relacionada con las expectativas

Question

Estaba leyendo un artículo relacionado con la minimaxidad.

Si $\hat{\theta}$ es la estimación de un parámetro desconocido $\theta$ y $l(\hat\theta-\theta)$ es la función de pérdida que han mencionado $E_p$ es la media de $l(\hat\theta-\theta)$ bajo distribución P. No entendí esta parte. Si $\hat\theta$ es una estimación y $\theta$ es el parámetro desconocido de una distribución P, entonces $\theta$ es fija, ya que es la media de la distribución P la que no se conoce. Entonces, ¿qué se entiende por expectativa de $l(\hat\theta-\theta)$

Answer 1

El estimador $\hat{\theta}$ es función de $n$ variables aleatorias $X_1,...,X_n$ . Una muestra es una realización de estas variables. La composición de funciones mensurables (variables aleatorias) también es mensurable. Por esta razón, tiene sentido asignar una distribución de probabilidad a $\hat{\theta}$ .

Por ejemplo, si $\hat{\theta}=\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^n x_j$ y $x_j\sim N(\mu,1)$ entonces $\hat{\theta}\sim N(\mu,n^{-1/2})$ .

En general, si $\hat{\theta}\sim F$ entonces $E[l(\theta-\hat{\theta})]=\int l(\theta-\hat{\theta}) dF(\theta)$ .

Answer 2

$\theta$ es fijo, como usted dice, pero su estimación $\hat{\theta}$ será una función de los datos, como dicen los autores, & es por tanto una variable aleatoria; funciones de $\hat{\theta}$ son, por tanto, variables aleatorias, con expectativas interesantes.