Demostrar que un conjunto débilmente compacto en un espacio normado es normocerrado y normocercado.

Question

Supongamos que $X$ es un espacio normado y $K$ es un subconjunto de $X$ tal que $K$ es débilmente compacta. Demostrar que $K$ es norma-cerrada y norma-limitada.

Consigo demostrar que $K$ está acotada por norma utilizando el Teorema de la Acotamiento Uniforme. Sin embargo, no estoy seguro de cómo demostrar que $K$ es norma cerrada. Lo siguiente es mi intento:

Desde $K$ es débilmente compacta, tenemos $x^*(K)$ es compacto en el campo escalar de $X$ , digamos $F$ . Por el Teorema de Heine-Borel, $x^*(K)$ está cerrado. Dado que $x^*$ es continua, tenemos $K$ es norma cerrada.

¿Es correcto?

Answer 1

No, tu razonamiento no es correcto. De hecho, sólo has demostrado que la preimagen de $x^*(K)$ por ejemplo $x^*$ está cerrado. Pero $$K \subset (x^*)^{-1}(x^*(K))$$ podría ser una inclusión adecuada. Incluso $$K \subset \bigcap_{x^* \in X^*} (x^*)^{-1}(x^*(K))$$ podría ser apropiado.

Sin embargo, el argumento a favor de la cerrazón es bastante sencillo. Supongamos que $K$ no está cerrado. Por lo tanto, existe una secuencia $\{x_n\}$ tal que ... Utilizando la compacidad débil de $K$ encontramos...