¿La suma de los recíprocos de los compuestos que son $ \le $ 1

Question

La suma en sí:

$$ \frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{14}+ \frac{1}{15}+ \frac{1}{39}... \le 1 $$

Todos ellos son sumas de recíprocos de compuestos que pueden ser lo más cercano a 1. Obsérvese que el término después de $\frac{1}{15}$ es $\frac{1}{39}$ en lugar de $\frac{1}{16}$ o cualquier otro recíproco de un número compuesto entre 15 y 39 por la razón de que haría la suma hasta ese punto $\gt$ 1. Esta es una descripción de esta suma desde el nivel más básico.

Parámetros de la suma:

-Si se alcanza el 1 en un punto exacto dado, la suma se detiene y, por tanto, la suma es finita.

-La suma debe ser $\le $ 1

-Todos los términos deben ser el recíproco de los números compuestos.

-Para encontrar el siguiente término de la lista, debes encontrar el mayor recíproco (que se ajuste a las normas) que haga la suma $\le$ 1, y NO el término que mejor se ajusta a la suma. Por ejemplo, si tuviera que sumar $\frac{1}{x}$ y $\frac{1}{y}$ para que la suma sea exactamente 1, pero $\frac{1}{a}$ fuera el más grande y siguiera ajustándose al resto de los parámetros, entonces habría que seguir con $\frac{1}{a}$ . (Incluso si $\frac{1}{a}$ era un término realmente feo para añadir en ese momento)

Preguntas:

1) Con estas reglas, ¿la suma será una suma finita o infinita? Si se trata de una suma infinita, los términos siempre se acercarán más y más a 1, pero nunca llegarán a hacerlo con un número finito de términos. Con una suma finita, entonces a un número cuantificable de términos la suma llega a 1.

2)Si la suma resulta ser infinita, entonces dígame por qué.

3)Si la suma resulta ser finita, enumera los términos. Si la suma es ridículamente grande, demuestra que es finita.

Gracias

Answer 1

La suma es finita. El siguiente término es el último: $1/6552$ .

EDIT: Considere el problema más general con un objetivo racional $T$ .
Probé algunas opciones aleatorias de objetivo; para el objetivo $105/37$ No he sido capaz de producir una suma finita (después de $204$ iteraciones los denominadores eran tan grandes que Maple tenía problemas con la prueba de primalidad). Así que no estoy convencido de que la suma sea siempre finita.