Una aplicación del principio del máximo fuerte para funciones armónicas

Question

Esto debería ser una aplicación fácil, ya que se da como una observación sin pruebas en el libro de pde de Evan.

Sea U conexo y u armónico en U. Entonces u es positivo en todas partes en U si u es positivo en algún lugar de la frontera de U.

Mi enfoque: Utilizar el principio del mínimo fuerte. Si u es igual o menor que 0 en algún punto de U, entonces u alcanzará su mínimo en U. Eso significa que u tiene un mínimo local, por lo que u es constante e igual al mínimo (que es igual o menor que 0). Pero se da que u tiene un valor positivo en la frontera.

De alguna manera mi prueba no se siente bien .. ¿Puede alguien decirme qué me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

La hipótesis del libro es que $u\ge 0$ en toda la frontera y $u>0$ en algún lugar de la frontera. También, $u\in C^2(U)\cap C(\overline{U})$ .

Su argumento es correcto. He aquí una reformulación en otras palabras:

Supongamos que $u=0$ en algún punto interior. Por el principio del máximo fuerte aplicado a $-u$ se deduce que $u\equiv 0$ . Esto contradice la hipótesis de que $u$ es positivo en alguna parte.