Centro de masa desde el punto de vista abstracto, ¿o podrían los antiguos griegos inventar el análisis moderno?

Question

Esta es una pregunta muy abierta, que puede tener o no una respuesta perfecta, y para la cual tengo algunas ideas pero nada parecido a una imagen clara. Sin embargo, supongo que no hace daño preguntar para ver si la gente piensa en tales cosas en absoluto y, si lo hacen, cuáles son sus ideas. No sé si hacerla CW o no: por un lado, es matemáticas puras, por lo que estamos dentro del conjunto de estándares habituales para juzgar lo que está bien y lo que está mal, por otro lado, ciertamente no es "una pregunta del tipo para la que MO fue diseñada". Así que estoy indeciso sobre marcar la opción de wiki comunitario por mí mismo, pero no tengo absolutamente nada en contra de que alguien más lo haga.

Supongo que los antiguos griegos tenían una idea de un espacio normado completo ($\mathbb R$ y $\mathbb R^2$ serían suficientes para nuestros propósitos durante bastante tiempo), un conjunto, una transformación lineal y el centro de masa. Además, supongo que tenían tanto sentido común (probablemente más) como el que tenemos hoy en día.

La tarea es la usual para Arquímedes: dado un conjunto razonable no vacío $E$ en un espacio lineal completo $V$, asignar un punto $C(E)$ a éste al que puedas llamar confiadamente "el centro de masa". Para los propósitos de este hilo, consideremos primero subconjuntos acotados y a lo sumo numerables en $V=\mathbb R$. Si podemos averiguar qué hacer con este caso para satisfacción de todos, podemos pasar a la siguiente etapa. Puede que no sea un modelo realmente iluminador, pero ya tiene algunas características bastante divertidas.

Los axiomas del centro de masa son simplemente los obvios:

1) El centro de masa nunca está fuera del cascarón convexo cerrado del conjunto.

2) Si $A$, $B$ son disjuntos, entonces $C(A\cup B)\in[C(A),C(B)]$.

3) Si $T$ es una transformación afín, entonces $C(TE)=TC(E)$.

4) (esto es un poco complicado, así que siéntete libre de eliminarlo o modificarlo si ayuda) Si $A,B$ son tales que los conjuntos $a+B$, $a\in A$ son disjuntos, entonces $C(A+B)=C(A)+C(B)

No sé si realmente necesitamos algo más (en particular, no estoy seguro si la adición de la definición "obvia" del centro de masa de un conjunto finito es necesaria, útil o perjudicial), pero siéntete libre de jugar con esta lista de cualquier manera razonable que desees.

Las preguntas son las habituales:

A) Existencia

B) Unicidad

C) Forma de encontrar $C(E)$ dado $E$.

Cualquier idea, construcción, contraejemplo, referencia, etc. (no necesariamente restringidos al modelo que describí) son bienvenidos :).

Editar: ¡Gracias a todos los que respondieron! Permíteme aclarar una cosa. Sí, si podemos crear una noción significativa de masa (por ejemplo, si existe una medida de Borel invariante por traslación que sea finita y positiva en $E$), podemos definir el centro de masa de la manera habitual y la única pregunta será si la definición es ambigua. Sin embargo, si te doy un conjunto simétrico, no dudarás en decir que el centro de simetría también es el centro de masa. Además, si te doy un conjunto infinito y le agrego un punto, probablemente (pero no necesariamente) estarás de acuerdo en que el centro de masa no sentirá esta adición, la razón es que el conjunto era infinitamente más masivo que el punto que agregamos, no tanto porque podamos medir la masa real de alguna manera sino simplemente porque se ajustan infinitamente muchos traslados disjuntos del punto dentro del conjunto. En otras palabras, a menudo podemos determinar el tamaño relativo sin poder asignar ningún significado al tamaño absoluto. Esta es una de las lagunas en la teoría de la integración que me gustaría explotar y ver hasta dónde se puede llegar con ella. En cierto sentido, es una extensión directa del pensamiento original de Eudoxo, razón por la cual "los antiguos griegos" entraron en el título de la pregunta.

Answer 1

Si no estoy equivocado (pero a menudo lo estoy), los físicos ya tienen una manera bastante simple de definir el centro de masas. Pero no creo que puedas hacerlo solo con conjuntos. Debes asociar una masa con cada conjunto. El axioma crítico es simplemente el que todos conocemos:

Si $A$ y $B$ son conjuntos disjuntos con masas $m(A)$ y $m(B)$ y centros de masas $c(A)$ y $c(B)$ respectivamente, entonces la masa de $C$ es $m(C) = m(A) + m(B)$ y el centro de masas del conjunto $C = A \cup B$ se da por $$ c(C) = \frac{m(A)}{m(C)}c(A) + \frac{m(B)}{m(C)}c(B). $$

Necesitas un axioma más para empezar de alguna manera. Creo que a los físicos les gusta empezar con masas puntuales (donde la definición del centro de masas es fácil) y luego ver un cuerpo como un límite de masas puntuales. Eso es más o menos lo que ha propuesto Liviu. Pero también basta con decir que el centro de masas de un cuadrado o un cubo es su centro geométrico. O, más generalmente, el centro de masas de cualquier conjunto con suficiente simetría es su centro.

Por supuesto, si realmente deseas formas arbitrarias, entonces necesitas una versión contable del primer axioma. Pero creo que eso es todo lo que necesitas. Nota que este enfoque permite cuerpos con densidades de masa diferentes e incluso no constantes.

AGREGADO (en respuesta a la edición de fedja): Vale la pena señalar explícitamente que mi respuesta anterior no requiere una noción de volumen o elección de medida (como la medida de Lebesgue) en el espacio ambiente. Funciona en cualquier espacio de longitud.

Pero no veo ninguna forma de reducir esto solo a geometría (y no física) sin una noción de volumen. En esencia, lo haces asumiendo que todos los objetos tienen la misma densidad de masa constante, por lo que la masa es esencialmente igual al volumen.

Más generalmente, tiene que haber una forma de medir el tamaño relativo de dos conjuntos para determinar el centro de masas de la unión de los dos conjuntos. Si entendí correctamente, el axioma (4) en la pregunta es un intento de establecer esto.

[DISCUSIÓN PREVIA REEMPLAZADA POR LO SIGUIENTE]

Pero para mí parece más simple definir primero una noción de tamaño y luego definir el centro de masas. Y, como señala alvarezpaiva en un comentario a la respuesta de Liviu, las valoraciones proporcionan el entorno adecuado, especialmente si nos restringimos a poliedros convexos, que son objetos que creo que los griegos entendían bastante bien. Esto también nos permite evitar cualquier problema de tener que trabajar con sumas o uniones infinitas.

Aquí, una valuación $f$ es una función finitamente aditiva en el espacio de poliedros convexos. En otras palabras, dados poliedros $A$ y $B$, $$f(A \cup B) + f(A \cap B) = f(A) + f(B).$$ La primera observación es que el "axioma crítico" mencionado anteriormente es equivalente a decir que $C \mapsto m(C)c(C)$ es una valuación. Sin embargo, Monika Ludwig demostró en su artículo Moment vectors of polytopes que la única valuación medible valuada en $R^n$ en poliedros convexos que se comporta de manera apropiada bajo transformaciones afines es el volumen del poliedro multiplicado por el centro de masas estándar.

Ludwig también demostró en su artículo de Advances Valuations on polytopes containing the origin in their interiors que cualquier valuación medible y valuado en números reales invariante bajo $SL(n)$ homogénea de grado positivo debe ser un múltiplo constante del volumen. Por lo tanto, es razonable asumir que $m$ es volumen. Esto implica que $c$ debe ser el centro de masas estándar.

Además, si examinas las pruebas de Ludwig, verás que, aunque son bastante no triviales, la tecnología utilizada estaba, en teoría, al alcance de los griegos.

Answer 2

Tal vez en lugar de conjuntos finitos se debería trabajar con divisores efectivos, es decir, combinaciones lineales formales de la forma $\newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\bp}{\boldsymbol{p}}$

$$ D= \sum_{\bp\in\bR^N} m_D(\bp) \bp, $$

donde $m_D:\bR^N\to\bZ_{\geq 0}$ es una función con soporte finito. Denotamos por $\newcommand{\Div}{\mathrm{Div}}$ $\Div_{\geq 0}(\bR^N)$ al espacio de divisores efectivos en $\bR^N$. $\Div_{\ge 0}$ tiene una estructura de semigrupo obvia. Piensa en el centro de masas como un mapa $\newcommand{\eC}{\mathscr{C}}$

$$ \eC: \Div_{\geq 0}(\bR^N)\to \Div_{\geq 0}(\bR^N), $$

con las siguientes propiedades.

1. Para cualquier divisor $D$, el soporte del centro de masas $\eC(D)$ consiste en un solo punto.

2. Para cualquier divisor $D_1,D_2\in\Div_{\geq 0}(\bR^N)$ tenemos

$$ \eC(D_1+D_1) =\eC\Bigl(\; \eC(D_1)+\eC(D_2)\; \Bigr).$$

3. Para cualquier punto $\bp\in \bR^N$ y cualquier $m\in\bZ_{\geq 0}$

$$\eC(m \delta_{\bp})=m\delta_{\bp}, $$

donde $\delta_{\bp}$ denota el divisor de Dirac de masa $1$ soportado en $\bp$.

4. $\eC$ es continua con respecto a la topología obvia en $\Div_{\geq 0}(\bR^N)$, donde los soportes de los divisores convergen en la métrica de Hausdorff y en el límite la masa total se conserva.

Afirmación. Creo que estas propiedades determinan de forma única a $\eC$.

Afirmación más débil. El mapa $\eC$ está determinado de forma única si además de 1,...4 asumimos la siguiente condición adicional.

5. Si el soporte de $D$ está contenido en un subespacio afín $V\subset \bR^N$, entonces el soporte de $\eC(D)$ está contenido en el mismo subespacio afín.

Edit 1. Condición 3 fortalecida. La función

$$ \Div_{\geq 0}(\bR^N)\ni D=\sum_{\bp} m(\bp)\delta_{\bp}\mapsto \eC_0(D):=m(D)\delta_{C(D)} \in \Div_{\geq 0}(\bR^N)\tag{$\ast$}, $$

donde

$$ m(D) :=\left(\sum_{\bp} m(\bp)\right) ,\;\; c(D)= \frac{1}{m(D)}\sum_{\bp} m(\bp) \bp, $$

satisface todas las anteriores $5$ condiciones. La afirmación más débil afirma que esta es la única función que satisface estas condiciones.

Edit 2. Teniendo en cuenta los comentarios de Deane, he sido capaz de demostrar la siguiente versión de la afirmación anterior.

PROPOSICIÓN. Existe exactamente un mapa $\eC:\Div_{\geq 0}(\bR^N)\to \Div_{\geq 0}(\bR^N)$ que satisface las siguientes condiciones.

(Localización.) El soporte de $\eC(D)$ consiste en un solo punto.

(Conservación de la masa.)

$$ m\bigl( D\bigr)=m\bigl(\;\eC(D)\;\bigr),\;\;\forall D\in \Div_{\geq 0}$$

*(Normalización.)*$\newcommand{\bq}{\boldsymbol{q}}$ $$\eC(m\delta_{\bp}) =m\delta_{\bp},\;\; \eC(\delta_{\bp}+\delta_{\bq})=2\delta_{\frac{1}{2}(\bp+\bq)}. $$

(Aditividad.)

$$\eC(D_1+D_2)=\eC\bigl(\;\eC(D_1)+\eC(D_2)\;\bigr),\;\;\forall D_1,D_2\in\Div_{\geq 0}. $$

Puedes encontrar una prueba aquí.

Edit 3. La prueba de la proposición anterior no utiliza la estructura lineal de $\bR^N$. Utiliza solo la estructura métrica, y más precisamente el hecho de que cualquier dos puntos distintos en $\bR^N$ determinan una única geodésica. La condición de normalización debería ser reescrita como

$$\eC(\delta_{\bp}+\delta_{\bq})= 2 \delta_{c(\bp,\bq)}, $$

donde $c(\bp,\bq)$ denota el punto medio del arco geodésico $[\bp,\bq]$. En la proposición anterior entonces podemos reemplazar $\bR^N$ con el espacio hiperbólico $\newcommand{\bH}{\boldsymbol{H}}$ $\bH^N$ y podemos concluir que en un espacio hiperbólico existe a lo sumo una noción de centro de masa, es decir, un mapa $\eC:\Div_{\geq 0}(\bH^N)\to \Div_{\geq 0}(\bH^N)$ que satisface las cuatro condiciones de la Proposición.