Esta pregunta está motivada por mi respuesta a 109955 . Proporciona un relación de recurrencia satisfecha por una función $P(n)$ cuyos términos a priori son funciones racionales (de tres variables) con complicación complicados. Sin embargo, introduciendo otras funciones $R(n)$ y $S(n)$ podemos obtener una recurrencia conjunta de la que es obvio que $P(n)$ es un polinomio de Laurent (el "fenómeno Laurent"). (En realidad en 109955 la recurrencia para $P(n)$ se derivó de la unión recurrencia, pero esto es irrelevante para mi pregunta). Me pregunto si la misma técnica podría aplicarse a otras recurrencias del fenómeno de Laurent Laurent, o si se puede demostrar en ciertos casos que tal enfoque no funciona. enfoque no puede funcionar. Uno de los ejemplos más sencillos de este comportamiento es el So $$ f(n)f(n+4) = f(n+1)f(n+3)+f(n+2)^2, $$ con condiciones iniciales genéricas $f(0)=w$ , $f(1)=x$ , $f(2)=y$ , $f(3)=z$ . ¿Puede demostrarse el fenómeno Laurent introduciendo funciones adicionales como en 109955?
Respuestas
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Me gustaría ver una buena respuesta a esta pregunta. Lo que escribo a continuación es una recopilación de ideas que me parecen pertinentes.
Las álgebras de conglomerados proporcionan una forma de generar instancias no triviales del fenómeno de Laurent, aunque parece que hay muchos tipos diferentes de relaciones de recurrencia que muestran dicha magia, algunas de ellas altamente no lineales, como por ejemplo $$x_{n+3}x_n^3x_{n-1}=x_{n+2}^3x_{n-1}^3-x_{n+2}^2x_{n+1}^3x_{n-2}+a(x_{n+1}x_n)^6.$$ Gran parte de lo que digo aquí procede de un artículo de A. Hone, "Polinomios de Laurent y mapas superintegrables" . Se puede ver una relación de recurrencia $$x_{n+k}=F(x_n,\dots,x_{n+k-1}) \mathrel{\mathop :}= F(\mathbf{x}_n),$$ como una iteración del mapa $$\varphi:(x_0,\dots,x_{k-1})\to (x_1,\dots,x_{k-1},F(\mathbf{x}_0)),$$ y por tanto como un sistema dinámico discreto, digamos sobre $\mathbb R^k$ o $\mathbb C^k$ . Resulta que muchas de las propiedades combinatorias de la secuencia recurrente concuerdan con el comportamiento de $\varphi$ como un sistema dinámico discreto.
Interpreto el método que esbozas en tu pregunta sobre "linealizar" utilizando recurrencias conjuntas como una especie de análogo de la "separación de variables". Poder utilizar la separación de variables es una de las propiedades que caracterizan lo que la gente llama sistemas integrables. Por lo tanto, tiene sentido buscar una respuesta entre las recurrencias que dan lugar a sistemas discretos integrables (Tengo entendido que existe una amplia bibliografía al respecto).
Desde esta perspectiva, resulta evidente que la linealización mediante recurrencias conjuntas debe tener algo que ver con disponer de "cantidades conservadas", es decir, expresiones en los términos de la secuencia que permanecen constantes al variar el índice.
Teniendo esto en cuenta, veamos el ejemplo de la secuencia Somos-4 $$x_{n+4}x_{n}=\alpha x_{n+3}x_{n+1}+\beta x_{n+2}^2.$$ Creo que la referencia aquí es un documento anterior, "Integralidad y el fenómeno de Laurent para secuencias de Somos 4" por C. Swart y A. Hone. Donde utilizan el hecho de que el sistema dinámico discreto correspondiente es integrable para concluir el fenómeno de Laurent.
La expresión $$T=\frac{x_{n-1}x_{n+2}}{x_nx_{n+1}}+\frac{\alpha x_n^2}{x_{n-1}x_{n+1}}+\frac{x_{n-2}x_{n+1}}{x_{n-1}x_n},$$ resulta ser independiente de $n$ . Denotemos $\mathcal{I}=\alpha^2+\beta T$ los autores demuestran que, de hecho, tenemos $x_n\in \mathbb Z[\alpha, \beta, \mathcal{I}, x_1^{\pm}, x_2,x_3,x_4]$ .
Para ello se introduce la secuencia $w_n$ satisfaciendo $w_1=1, w_2=-\sqrt{\alpha},w_3=-\beta,w_4=\mathcal{I}\sqrt{\alpha}$ así como $$w_{2m+1}=w_m^3w_{m+2}-w_{m+1}^3w_{m-1} \quad, \quad w_{2m+2}=\frac{w_{m+2}^2w_{m+1}w_{m-1}-w_{m}^2w_{m+1}w_{m+3}}{\sqrt{\alpha}}.$$ Ahora la propiedad deseada se deduce del examen de las recurrencias $$x _{2m+1}=\frac{w _m ^2x_mx _{m+2}-w _{m+1}w _{m-1}x _{m+1} ^2}{x _1}$$ y $$x _{2m+2}=\frac{w _{m+2}w _{m-1}x _{m+1}x _{m+2}-w _mw _{m+1}x _m x _{m+3}}{\sqrt{\alpha}x_1}.$$
Puede que este tipo de recurrencias auxiliares no fuera lo que tenías en mente, pero pensé que podría ser relevante, y quizás atraer la opinión de algún experto. Sería estupendo que se comprendiera mejor la conexión entre los sistemas discretos integrables y el fenómeno de Laurent, y que pudiéramos tratar esos resultados de forma sistemática.
No he tenido ocasión de mirar en detalle la recurrencia 109955 de Richard Stanley, pero tiene muy buena pinta; intentaré entender cómo funciona la semana que viene. Acabo de echar un vistazo rápido a una órbita de algunos datos iniciales racionales: las alturas de los números racionales crecen muy rápido - las alturas logarítmicas crecen exponencialmente, lo que indica no integrabilidad; eso significa que es poco probable que se pueda encontrar una solución de forma cerrada para los iterados. Creo que las alturas logarítmicas crecen como 2^n, pero parece una versión interesante del fenómeno de Laurent, ya que todos los iterados racionales que vi tenían los mismos factores primos en el denominador.
La idea de las funciones auxiliares recuerda a la forma en que se definen las álgebras LP: http://arxiv.org/abs/1206.2611 La idea es que en lugar de tener un único polinomio F que defina una relación de intercambio
x_{old} x_{new} = F (otro x_j),
se necesitan N de ellas de rango N - para una recurrencia, N corresponde al orden, y nosotros tendríamos
x_{n+N} x_n = F(x_{n+1},...,x_{n+N-1}).
(La configuración del álgebra de LP es más general: no todas las álgebras de LP dan una recurrencia simple; lo mismo puede decirse de las álgebras de conglomerados). Las funciones auxiliares F_1,...,F_N (con ciertas propiedades) son exactamente lo que se necesita para que se cumpla el Lema de la Oruga de Fomin y Zelevinsky - se puede pensar en las funciones auxiliares como si fueran necesarias para las patas de la oruga, mientras que para una recurrencia la F original vive en los segmentos del cuerpo de la oruga - lo que da la propiedad de Laurent. Las álgebras de conglomerados son el caso especial cuando F es una suma de dos monomios, y las funciones F_j no forman parte de la definición porque su papel lo desempeñan (las columnas de) una matriz de intercambio B, que especifica los exponentes en cada monomio.
Sobre el ejemplo de Somos-4: se trata de un caso especial en el que existe un sistema integrable subyacente. (En general, sólo un pequeño subconjunto de las cosas que tienen la propiedad Laurent son "integrables" en algún sentido). Para Somos-4, la curva espectral es una curva elíptica, y es posible escribir fórmulas explícitas para los iterados en términos de funciones theta. Además, como menciona Richard Eager, se trata de una reducción de la recurrencia del octaedro (o ecuación discreta de Hirota, o discreta de KP, según se prefiera). En un artículo reciente http://arxiv.org/abs/1207.6072 con Allan Fordy explicamos cómo obtener el par Lax y la curva espectral para Somos-4, partiendo de KP discreto. También identificamos sistemas integrables dentro de una clase particular de álgebras de cúmulos.
En otra respuesta, Gjergji Zaimi dio fórmulas de duplicación para un secuencia generalizada de Somos-4 $\,x(n)\,$ utilizando su secuencia de divisibilidad elíptica asociada $\,w(n).\,$ En realidad, puedes hacerlo sólo con una secuencia.
Sea $\,a(n)\,$ sea el Secuencia Somos-4 que satisface $$ a(n)a(n-4) = a(n-1)a(n-3)+a(n-2)^2, \quad a(0)=\cdots=a(3)=1. $$ Entonces, algunas posibles fórmulas de duplicación son $$ a(2n\!+\!1) = -\,a(n)^2a(n\!+\!1)a(n\!+\!4) + a(n)^2a(n\!+\!2)a(n\!+\!3) +2a(n\!+\!1)^3a(n\!+\!2),\\ a(2n\!+\!2) = -\,a(n)^2a(n\!+\!3)a(n\!+\!4) -2a(n\!+\!1)^3a(n\!+\!4) +7a(n\!+\!1)^2a(n\!+\!2)a(n\!+\!3). $$ Sin embargo, existen dos fórmulas según sea par o impar.
Un ejemplo similar y más sencillo pero más interesante que el $\,P(n),R(n),S(n)\,$ es la siguiente. Sea $$ x(n+1) = +y(n)^2 - x(n)z(n), \quad x(0) = 2, \\ y(n+1) = -x(n)^2 - y(n)z(n), \quad y(0) = 1, \\ z(n+1) = -z(n)^2 - x(n)y(n), \quad z(0) = 1. $$ La secuencia de triples $\,(x(n),y(n),z(n))\,$ son todos los puntos de la curva elíptica $$ x^3 + y^3 - 3z^3 = 3xyz. $$ Esto está estrechamente relacionado con una respuesta mía a Pregunta MSE 4298049 que tiene otro ejemplo de tal recurrencia y su relación con secuencias generales de Somos-4. Cada una de las tres secuencias satisface recurrencias que permiten calcular cada término de la secuencia a partir de los cuatro términos precedentes. Por ejemplo, (donde $z0:=z(n), \dots, z4:=z(n+4)$ ) $$ 0 = -(63 z1 + 98 z0^2) z4 + 26 z3^2 z1 + 372 z3 z2^2 z1 + 78 z3^2 z0^2. $$ Obsérvense los coeficientes relativamente grandes que sólo dependen de la invariante $\,(x(n)^3+y(n)^3)/(z(n)^3+x(n)y(n)z(n)).\,$ Debería haber fórmulas similares pero más complicadas para las otras dos secuencias pero estoy incapaz encontrarlos actualmente. Las secuencias crecen rápidamente, pero hay factores comunes que pueden reducir la tasa de crecimiento. Para ejemplo, si los valores semilla $\,x(0),y(0),z(0)\,$ son variables, entonces el grado total de $\,x(n),y(n),z(n)\,$ en estas variables es $\,2^n.\,$ Sin embargo, si se eliminan los factores comunes, el grado total es el secuencia A084684 con cuadrática en lugar de exponencial.
