En Conjetura de Fermat-Catalán es la afirmación de que la ecuación
$a^m + b^n = c^k$
sólo tiene un número finito de soluciones cuando $a, b, c$ son enteros coprimos positivos, y $m,n,k$ son enteros positivos que cumplen
$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} +\frac{1}{k} <1$ . Hasta ahora se conocen diez soluciones; cinco son "pequeñas", mientras que las otras cinco son sorprendentemente grandes. Las cinco grandes, encontradas por Beukers y Zagier, son:
$33^8+1549034^2=15613^3$
$1414^3+2213459^2=65^7$
$9262^3+15312283^2=113^7$
$17^7+76271^3=21063928^2$
$43^8+96222^3=30042907^2$
La primera mención (al menos la que he podido encontrar) de estas soluciones se encuentra en este artículo de Henri Darmon y Andrew Granville de mediados de los noventa (página 3). Richard K. Guy, en la tercera edición de su libro Problemas sin resolver en Teoría de Números publicado en 2004, hace esta rápida observación;
Las cinco grandes soluciones fueron halladas mediante inteligentes cálculos de Beukers y Zagier. ( página 115 )
Aún no se menciona cómo fueron encontrados. Los "cálculos" implicarían una búsqueda por fuerza bruta, pero teniendo en cuenta que fue en los años 90, esa tarea llevaría un tiempo inviable. Buscando un poco más, encontré un documento de 2016 de Frits Beukers. en la que bromea:
Para ilustrar los fenómenos que encontramos al resolver la ecuación de Fermat generalizada, damos una solución parcial de $x^2 + y^8 = z^3$ . Esta ecuación se presta muy bien a un método de descenso por etapas. (página 3, capítulo 2)
¿Podría ser una explicación de cómo se encontraron las grandes soluciones? Soy escéptico porque el artículo se escribió más de 20 años después de que se mencionaran las grandes soluciones en los artículos de Henri Darmon y Andrew Granville antes mencionados. Además, el método no parece funcionar siempre, porque más adelante en el artículo dice lo siguiente:
En muchos casos, como $x^3 + y^5 = z^7$ ...este descenso ya no es tan obvio... (página 4, capítulo 2)
Entonces, ¿cómo se encontraron las cinco grandes soluciones?
Actualización: He conseguido la segunda edición del libro de Richard K. Guy, publicada en 1994, y en ella no se hace mención alguna a las soluciones de gran tamaño. Así pues, es muy probable que en la tercera edición de su libro obtenga la información del artículo de Henri Darmon y Andrew Granville.
