Como es bien sabido, el esquema de Hilbert de dos puntos en una determinada variedad proyectiva lisa X se soplan a lo largo de la diagonal del producto de X y luego cociente de la acción Z2. Es suave. Mi pregunta es si los esquemas de Hilbert de 3 puntos en variedades proyectivas lisas arbitrarias son lisos. Si es así, ¿por qué y cómo describir su geometría?
Respuesta
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Sí, el esquema de Hilbert de 3 puntos en una variedad lisa es liso. No conozco una descripción global para el esquema de Hilbert resultante, pero aquí está la razón local por la que esto es cierto.
- Todo esquema de longitud 3 es abstractamente isomorfo a un subesquema del plano.
- Para un subesquema de dimensión cero $\text{Spec} A$ de una variedad lisa $X$ existe un mapa functorial natural a partir de deformaciones incrustadas de $\text{Spec} A\subseteq X$ a deformaciones abstractas de $\text{Spec} A$ y este mapa es suave.
El hecho 1 es fácil. El hecho 2 requiere más trabajo, pero se deduce de algunos argumentos elementales sobre la teoría de la deformación para esquemas afines. Combinando estos hechos: $\text{Spec} A$ es un punto suave de $\text{Hilb}^3 X$ si y sólo si el anillo de deformación abstracto miniversal de $\text{Spec} A$ es suave si y sólo si, después de cualquier refundición de $\text{Spec} A$ en $\mathbb A^2$ tenemos que $\text{Spec} A$ es un punto suave de $\text{Hilb}^3 \mathbb A^2$ ; la última afirmación es cierta por parte de Fogarty.
Si alguien tiene una descripción global del esquema de Hilbert resultante, ¡sentiría mucha curiosidad!
