Existencia de soluciones de la ecuación con un límite.

Question

Sea f una función continua sobre [0,1] y $$\lim_{x0} \frac{f(x + \frac13) + f(x + \frac23)}{x}=1$$ Demostrar que existen $x_{0}\in[0,1]$ que satisface la ecuación $f(x_{0})=0$

I apoyar que el numerador se aproxime $0$ lo que implicaría que para x cerca de $0$ $f(x + \frac13)$ sería de signo contrario entonces $f(x + \frac23)$ o ambos sean $0$ . Entonces por el teorema del valor intermedio sabríamos que existe $x_{0}\in[\frac13,\frac23]$ que cumplen $f(x_{0})=0$

Sin embargo, no tengo ni idea de cómo probar que el numerador $\rightarrow 0$

Answer 1

Claramente podemos ver que $$\lim_{x \to 0}f(x + 1/3) + f(x + 2/3) = \lim_{x \to 0}x\cdot\frac{f(x + 1/3) + f(x + 2/3)}{x} = 0 \cdot 1 = 0$$ y por continuidad de $f$ vemos que esto implica $f(1/3) + f(2/3) = 0$ . Si $f(1/3) = 0$ entonces hemos terminado. Si $f(1/3) \neq 0$ entonces ambos $f(1/3)$ et $f(2/3)$ son de signos opuestos y, por tanto, por el teorema del valor intermedio existe un $x_{0} \in (1/3, 2/3)$ para lo cual $f(x_{0}) = 0$ .

Answer 2

Pista: Si el numerador no llega a $0$ ¿puede el límite llegar a 1? Supongamos de entrada que existe $\lim_{x\to 0} (f(x+1/3)+f(x+2/3))$ y no es cero.

Answer 3

Primero, demuestra que el numerador debe ser cero. Puedes hacerlo por contradicción. Demuestra que si $$\lim_{x\to 0} f(x+\frac13) + f(x+\frac23)\neq 0$$

entonces el límite original no puede existir.

Ahora, puedes usar la continuidad para demostrar que $f(\frac23) + f(\frac13)=0$ y luego utilizar un teorema bien conocido para terminar su demostración.

Answer 4

Si $$ \lim \frac{f(x)}{g(x)}=0 $$ y $$ \lim g(x)=0, $$ entonces $$ \lim f(x) = \lim \frac{f(x)}{g(x)} \cdot g(x) =0. $$

Answer 5

Tengo una idea ligeramente diferente:

La codinción indica que: $f(x+1/3) + f(x+2/3)$ es un infinitésimo equivalente a la función $x$ .., lo que significa que $f(x+1/3)+f(x+2/3)$ es equivalente a $ o(x)$ cuando $x$ es infinitamente pequeño...

Así que $f(x+1/3)+f(x+2/3)\approx a_0 + a_1x$ et $a_0 = 0$ , $a_1 = 0$ o $1$ .

$a_1=0$ aparentemente conduce al resultado .. si $a_1 = 1$ es $f(x+1/3)+f(1+2/3)=x$ . así que $f(1/3)+f(2/3)=0$ lo que también lleva a la conclusión.