¿Modelan las series de Taylor sus funciones con una precisión del 100%? Por ejemplo, ¿es $sin(x)$ igual a $\lim_{n\rightarrow\infty}T_n(x)$ para todo x?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para su función de ejemplo, la respuesta es sí. En general, si la función es lo que se conoce como "analítica", dado cualquier punto $x$ la serie de Taylor de la función en $x$ converge (exactamente) a la función en algún intervalo abierto centrado en $x$ y no converge fuera del intervalo cerrado (que puede ser la totalidad de $\mathbb R$ ). Si quieres calcularlo en algún punto fuera del intervalo tienes que centrar la serie de Taylor en un punto diferente.
Por desgracia, no conozco ninguna definición mejor de "analítico" que "la serie de Taylor en cualquier punto converge al valor de la función en alguna vecindad de ese punto". La serie de Taylor podría converger en un intervalo para una función que no es analítica, pero aún así no converger al valor de la función en ese intervalo. El ejemplo estándar es la serie de Taylor de $e^{-1/x^2}$ en $0$ que es idénticamente cero, por lo que esta función no es analítica.
