Evaluar la integral de la $I=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln^3{x}}{(1+x^2)(1+x)^2}dx$

Question

Encontrar esta integral $$I=\int_{0}^{\infty}\dfrac{\ln^3{x}}{(1+x^2)(1+x)^2}dx$$

Yo: vamos a $x=\tan{t}$ entonces $$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\ln^3{\tan{t}}}{(1+\tan{t})^2}dt$$ Soy incapaz de simplificar después de esto. Este problema es de QQ.

Answer 1

Usted puede utilizar el teorema de los residuos. Considere la integral

$$\oint_C dz \frac{\log^4{z}}{(1+z^2)(1+z)^2}$$

donde $C$ es un ojo de la cerradura de contorno sobre el eje real positivo, por lo que $\arg{z} \in [0,2 \pi)$. $C$ tiene un radio exterior de $R$, y un radio interior de $\epsilon$. La magnitud de la integral se desvanece en la parte exterior del arco como $2 \pi \log^4{R}/R^3$ $R \to \infty$ y a lo largo del interior del arco como $\epsilon \log^4{\epsilon}$$\epsilon \to 0$. Así, el contorno de la integral es igual, en estos límites

$$\int_0^{\infty} dx \frac{\log^4{x}-(\log{x}+i 2 \pi)^4}{(1+x^2)(1+x)^2}$$

que, cuando se expande, es igual a

$$-i 8 \pi \int_0^{\infty} dx \frac{\log^3{x}}{(1+x^2)(1+x)^2}+ 24 \pi^2 \int_0^{\infty} dx \frac{\log^2{x}}{(1+x^2)(1+x)^2}\\+i 32 \pi^3 \int_0^{\infty} dx \frac{\log{x}}{(1+x^2)(1+x)^2}-16 \pi^4 \int_0^{\infty} dx \frac{1}{(1+x^2)(1+x)^2}$$

El contorno de la integral es igual a $i 2 \pi$ veces la suma de los residuos en los polos $z_{1,2}=\pm i$$z_3=-1$. Tenga en cuenta que entonces tendríamos que evaluar las integrales con potencias inferiores de registro. Podemos evitar esto mediante la expresión de la ecuación anterior como un sistema de ecuaciones de la incógnita de las integrales. Vamos

$$R_j = \sum_{k=1}^3 \operatorname*{Res}_{z=z_k} \frac{\log^j{z}}{(1+z^2)(1+z)^2}$$

$$I_j = \int_0^{\infty} dx \frac{\log^j{x}}{(1+x^2)(1+x)^2}$$

Por lo tanto, considerando similar las integrales de contorno en el plano complejo, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{align}-i 8 \pi I_3+24 \pi^2 I_2+i 32 \pi^3 I_1-16 \pi^4 I_0 &= i 2 \pi R_4\\ -i 6 \pi I_2+12 \pi^2 I_1+i 8 \pi^3 I_0&=i 2 \pi R_3\\-i 4 \pi I_1+4 \pi^2 I_0 &= i 2 \pi R_2\\-i 2 \pi I_0 &= i 2 \pi R_1\end{align} $$

Ahora podemos resolver esta parte superior de la diagonal para el sistema de las integrales en términos de los residuos; sólo estamos interesados en $I_3$. La solución para $I_3$ y reexpressing en términos de la notación original, nos encontramos con que nuestros integral es

$$\int_0^{\infty} dx \frac{\log^3{x}}{(1+x^2)(1+x)^2} = \sum_{k=1}^3 \operatorname*{Res}_{z=z_k} \left [\frac{-\frac14 \log^4{z}+i \pi \log^3{z}+\pi^2 \log^2{z}}{(1+z^2)(1+z)^2} \right ]$$

Ahora debemos evaluar los residuos. En los polos $z_1=e^{i \pi/2}$$z_2=e^{i 3 \pi/2}$, el cálculo es sencillo:

$$\operatorname*{Res}_{z=e^{i \pi/2}} \left [\frac{-\frac14 \log^4{z}+i \pi \log^3{z}+\pi^2 \log^2{z}}{(1+z^2)(1+z)^2} \right ] = \\ \frac{-\frac14 (i \pi/2)^4+i \pi (i \pi/2)^3+\pi^2 (i \pi/2)^2}{2 i (1+i)^2}=\frac{9\pi^4}{256}$$

Del mismo modo,

$$\operatorname*{Res}_{z=e^{i 3\pi/2}} \left [\frac{-\frac14 \log^4{z}+i \pi \log^3{z}+\pi^2 \log^2{z}}{(1+z^2)(1+z)^2} \right ] = \frac{9\pi^4}{256}$$

Para el polo en $z=e^{i \pi}$, debemos diferenciar a evaluar el residuo (dos polos). Por lo tanto,

$$\operatorname*{Res}_{z=e^{i \pi}} \left [\frac{-\frac14 \log^4{z}+i \pi \log^3{z}+\pi^2 \log^2{z}}{(1+z^2)(1+z)^2} \right ] = \left [\frac{d}{dz} \frac{-\frac14 \log^4{z}+i \pi \log^3{z}+\pi^2 \log^2{z}}{1+z^2} \right ]_{z=e^{i \pi}}$$

cálculo que me ahorraré en este punto, excepto para decir que es sencillo, y tiene una notable cancelación de la parte imaginaria. El resultado de este cálculo nos informa que el residuo es $-\pi^4/8$.

Finalmente, poniendo todo esto junto, tenemos

$$\int_0^{\infty} dx \frac{\log^3{x}}{(1+x^2)(1+x)^2} = \frac{9 \pi^4}{256} + \frac{9\pi^4}{256}-\frac{\pi^4}{8} = -\frac{7 \pi^4}{128}$$

ANEXO

Debe entenderse que la expresión de la integral en términos de los residuos no es específico para este particular integral y se aplica a cualquier integrante de la forma

$$\int_0^{\infty} dx \, f(x) \, \log^3{x} = \sum_{k=1}^N \operatorname*{Res}_{z=z_k} \left [\left (-\frac14 \log^4{z}+i \pi \log^3{z}+\pi^2 \log^2{z}\right ) f(z) \right ]$$

donde $f$ es lo suficientemente bien comportado que la integral existe, y el $z_k$ son los polos de $f$ en el plano complejo de distancia desde el eje real positivo. De hecho, el procedimiento general funciona para cualquier potencia entera de registro, y sería interesante generar un polinomio de tipo de expresión en el registro de poderes arbitrarios.

Answer 2

Aquí es una forma cerrada

$$I=\int_{0}^{\infty}\dfrac{\ln^3{x}}{(1+x^2)(1+x)^2}dx = -\frac{7}{128} \pi^4 \sim -5.327059668.$$

Usted puede utilizar esta técnica.