¿Qué es el producto escalar de tensores?

Question

Dado un espacio vectorial $V$ con un producto escalar $g(v_1,v_2)$ en él, ¿cuál es el producto escalar en, digamos, $V \otimes V^*$ ?

Según "Manifolds and Differential Geometry" de Jeffrey Lee (véase 7.6 Tensores métricos):

...existe un único producto escalar $g^1_1$ en $V \otimes V^*$ tal que para $v_1 \otimes \alpha_1$ y $v_2 \otimes \alpha_2$ $\in V \otimes V^*$ w $$ g_1^1 \left(v_1 \otimes \alpha_1), (v_2 \otimes \alpha_2) \right) = g(v_1,v_2) \, g^*(\alpha_1, \alpha_2)$$

Aquí $g^*$ es un producto escalar sobre $V^*$ : $$g^*(\alpha, \beta) = g(\alpha^\sharp, \beta^\sharp)$$

Lo que me molesta es que no entiendo por qué no podría ser $$ g_1^1 \left(v_1 \otimes \alpha_1), (v_2 \otimes \alpha_2) \right) = g(v_1,v_2) + g^*(\alpha_1, \alpha_2)$$

¿Hay alguna razón para elegir la primera definición? Sobre todo teniendo en cuenta cómo el tensor métrico se define de productos de variedades riemannianas.

Para $V \otimes V$ el libro anterior define producto escalar como: $$ g \left(v_1 \otimes u_1), (v_2 \otimes u_2) \right) = g(v_1,v_2) \, g(u_1, u_2)$$

Answer 1

El mapa $$g_1^1 \left(v_1 \otimes \alpha_1), (v_2 \otimes \alpha_2) \right) = g(v_1,v_2) + g^*(\alpha_1, \alpha_2)$$ ni siquiera está bien definido: Para todos $\lambda \in \mathbb{R} - \{0\}$ tenemos $$v_1 \otimes \alpha_1 = (\lambda^{-1} v_1) \otimes (\lambda \alpha_1),$$ pero $$g(\lambda^{-1} v_1,v_2) + g^*(\lambda \alpha_1, \alpha_2) = \lambda^{-1} g(v_1,v_2) + \lambda g^*(\alpha_1, \alpha_2),$$ que en general no coincide con $$g(v_1,v_2) + g^*(\alpha_1, \alpha_2).$$

Lo que probablemente tienes en mente es esto: Dados productos escalares $g, h$ respectivamente en espacios vectoriales $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ obtenemos un producto escalar natural sobre la suma directa $\mathbb{V} \oplus \mathbb{W}$ definido por $$((v_1, w_1), (v_2, w_2)) \mapsto g(v_1, v_2) + h(w_1, w_2)).$$

Answer 2

Si multiplicas $v_1$ por $\lambda$ y $\alpha_1$ por $1/\lambda$ no cambias su producto tensorial $v_1 \otimes \alpha_1$ . Por lo tanto, cualquier fórmula que se proponga para el producto escalar también debe quedar inalterada por una operación de este tipo, y esto descarta tu fórmula con "más" en lugar de "veces".

Answer 3

Creo que sería interesante considerar por qué el producto escalar se define así:

Recordemos que el producto tensorial $V\otimes W$ se construye tomando $\mathrm{Free}(V\times W)$ el espacio vectorial generado libremente por los elementos de $V\times W$ y dividiendo por el subespacio $N_{V\otimes W}\subset \mathrm{Free}(V\times W)$ de todos los elementos generados por $(v,w) + (v',w) - (v+v',w)$ y otras dos o tres relaciones que puedes encontrar fácilmente.

Si tiene dos mapas cualesquiera $f\colon V\to V'$ y $g\colon W\to W'$ entonces es ciertamente natural considerar el mapa producto $(f,g)\colon V\times W \to V'\times W', (v,w)\mapsto (f(v),g(w))$ . Esto se extiende a un mapa lineal sobre

$$ (f,g)\colon \mathrm{Free}(V\times W) \to \mathrm{Free}(V'\times W') \;, $$

porque ya está definida en los generadores de $\mathrm{Free}(V\times W)$ .

Para demostrar que $(f,g)$ desciende a un mapa bien definido $$ f\otimes g\colon V\otimes W \to V'\otimes W' $$ basta con demostrar que las clases de equivalencia de la izquierda se corresponden con las clases de equivalencia de la derecha, lo que se reduce a verificar identidades como

$$ (f,g) \bigl((v,w) + (v',w) - (v+v',w)\bigr) = (f,g) \bigl((v,w)\bigr) + (f,g)\bigl((v',w)\bigr) - (f,g)\bigl((v+v',w)\bigr) = (fv,gw) + (fv',gw) - (f(v+v'),gw) = (fv,gw) + (fv',gw) - (fv+fv',gw) \;.$$

Desde $(f,g)\bigl(N_{V\otimes W}\bigr) \subset N_{V'\otimes W'}$ tenemos una $f\otimes g$ ; la linealidad es automática.

No he hecho el ejercicio, pero no hay duda de que la definición del producto escalar en un espacio tensorial se sigue directamente del análogo de la construcción anterior para bilineal sobre productos tensoriales.