Cómo se relaciona la integral indefinida con el área; Mi comprensión de dx en la notación integral indefinida me hace pensar que tiene que relacionarse.

Question

Soy un principiante en cálculo; tomando AP calc y AP Física C

Creo que entiendo lo que significa f(x) * dx en la notación integral definida: el área de una caja infinitamente delgada. El $\int_a^b$ en la integral definida significa la suma de estas casillas, que es también el desplazamiento de la antiderivada en el rango ab

Lo que no entiendo es por qué la integral indefinida utiliza la notación f(x) * dx si, según mi comprensión actual, no se relaciona directamente con el área.

La razón por la que creo que no se relaciona con el área es que el área está representada por el desplazamiento de la antiderivada, pero la respuesta a la integral indefinida es la antiderivada con + C incluido (lo que significa que no es sólo el desplazamiento total de la función, creo).

He leído que el dx simplemente representa la variable que se está integrando cuando se usa en la integral indefinida, pero tengo fuertes sentimientos en contra de esa respuesta debido a lo claro que está su propósito en la notación de la integral definida, que no se muestra en la integral indefinida.

¿Cómo se relaciona dx en la notación integral indefinida con el área? ¿O no?

Answer 1

Pista: La notación \begin{align*} \color{blue}{F(x) = \int f(x)\,dx} \end{align*} es una abreviatura de una función $F(x)$ de la forma \begin{align*} F(x) = c + \int_a^xf(u)\,du \end{align*} para unas constantes adecuadas $c$ y $a$ . Esta notación se explica por _R. Courant citado en ce poste_ .

Answer 2

No estoy totalmente seguro de que esto responda a su pregunta, porque parece entender cómo se relaciona al principio de su pregunta. En cualquier caso, responderé a lo que creo que es tu pregunta.

Dado que estamos dividiendo la línea en cajas de forma indefinida, cada caja tendrá una anchura y una altura. La altura de cada caja es $y$ y la anchura de cada caja es esta cantidad indefinidamente delgada, que llamaremos simplemente $\mathrm{d}x$ . Por lo tanto, el área de cada caja individual es:

$$ \text{area}_\text{ single box} = y\,\mathrm{d}x $$

Así que, aquí, el $\mathrm{d}x$ sirve de anchura.

La integral es esencialmente una suma de cosas infinitamente pequeñas. Por lo tanto, si queremos sumar todas las cajas infinitamente pequeñas, utilizaríamos una integral definida:

$$ \text{area}_\text{ total} = \int_{x = a}^{x = b} y\,\mathrm{d}x $$

Sin embargo, no podemos resolver esto directamente, a menos que tengamos una fórmula para $y$ en términos de $x$ . Por lo tanto, si $y = f(x)$ entonces podemos reescribir esto como:

$$ \text{area}_\text{ total} = \int_{x = a}^{x = b} f(x)\,\mathrm{d}x $$

¿Es eso útil o tu problema está en otra parte?

Answer 3

Feelix, la mejor respuesta a tu pregunta es que las integrales no son lo mismo que las antiderivadas. La integral es una operación muy general que consiste en sumar los valores de una función sobre un conjunto. Las funciones y los conjuntos pueden ser bastante exóticos. Es sólo, digamos, una coincidencia, pero bastante agradable y útil, que esta noción de sumar los valores de una función coincida con el problema de encontrar una antiderivada en el caso especial de las funciones integrables sobre subconjuntos compactos de la recta real. La notación $\int f(x)\mathrm dx$ es sólo eso: una notación. En $\mathrm dx$ en este caso no tiene ningún significado especial. De hecho, sería igualmente válido escribir simplemente $\int f$ si se desea.

Al tratar con verdadero integración, (no encontrar antiderivadas) la notación $\mathrm dx$ tiene que ver con la idea de un medir . Si tenemos un conjunto $E$ y una función $f:E\to \Bbb R$ y queremos, en cierto sentido, "sumar" todos los valores que $f$ asume $E$ debemos formular cómo vamos a sumar estos valores.

La medida regular $\mathrm dx=1\mathrm dx$ en la recta real significa esencialmente que todos los puntos del dominio de integración tienen el mismo "peso". Véase aquí para más detalles.